4. Реализация метода сеток на эвм в среде matlab

4.1. Решение данной задачи

Будем решать данную систему методом верхней релаксации, который является обобщением метода Зейделя. Для ускорения сходимости метода Зайделя его несколько модифицируют введением параметра сходимости  .

Двухслойное каноническое итерационное уравнение с параметром >0 записывается в виде:

, k = 0,1,…; z⁰  H_h

A=D+L+T, а B= D+L.

В частном случае, при =1 получаем метод Зайделя, при>1 – собственно метод верхней релаксации, где

;;

Применительно к нашей конечно-разностной схеме, метод верхней релаксации записывается в виде:

. (8)

В этой итерационной процедуре (8) по методу верхней релаксации сначала на (k+1)-ой итерации находим промежуточное значениепо уже известным на данном шаге значениям сеточной функциис помощью первой формулы (8), а затем окончательное значениенаходим по второй формуле (8). Итерационный процесс сходится для всех, удовлетворяющих неравенству 1 << 2. Вопрос о выборе оптимального значенияиз данного промежутка, которое обеспечивало бы максимальную скорость сходимости метода верхней релаксации, требует анализа спектральных характеристик оператораА, что является достаточно сложным в теоретическом отношении. Но иногда удается получить значения близкие к оптимальным, в результате машинного эксперимента при варьировании параметрав интервале (1,2).

4.1А). Поточечный метод Зейделя (верхней релаксации).

Метод верхней релаксации чрезвычайно просто алгоритмизуется для численных расчетов на ЭВМ. Он реализован в программе puasson1.m.

Таким образом, было получено оптимальное значение параметра сходимости. Это значение и используется при вычислениях в программеpuasson2.m. График найденной функции и её линии уровня представлены на рисунках 4 и 5.

4.1Б). Блочный метод Зейделя

Рис.4. Изображение найденной функции с помощью программы puasson.m. на сетке с параметрами M =17 N = 6,  = 0.912.

Рис.5. Изображение линий уровня функции с помощью программы puasson1.m. на сетке с параметрами M =17 N = 6,  = 0.912.

Рис.6. График U(x)

Рис.7. График U(y)

i\j	0	1	2	3	4	5
0	0	2.0452	3.073	3.3761	2.6942	0
1	2.0946	2.6952	3.3235	3.7895	4.0346	4.1734
2	2.8249	3.308	3.9314	4.644	5.4413	6.3378
3	3.148	3.6589	4.356	5.2443	6.3303	7.5651
4	3.147	3.6608	4.3798	5.3235	6.5006	7.8438
5	2.8148	3.2771	3.9308	4.7967	5.8828	7.124
6	2.1767	2.5331	3.0355	3.7	4.5327	5.4834
7	1.3061	1.5146	1.7991	2.1679	2.6242	3.1406
8	0.31564	0.35429	0.38524	0.40782	0.42155	0.42616
9	-0.65988	-0.78931	-1.0104	-1.3331	-1.7613	-2.2683
10	-1.4852	-1.7569	-2.1915	-2.8067	-3.6096	-4.5503

Таблица 2. Результат вычислений программы puasson1.m при значениях N=6,M=10,

4.1Б). Блочный метод Зейделя (верхней релаксации).

Преобразуем аппроксимацию нашего дифференциального уравнения и его начальных условий к виду, удобному для прогонки, получим следующие выражения:

Полученная система линейных алгебраических уравнений (5)-(8) описывается трехдиагональной матрицей:

и в общем случае имеет вид:

где(9)

Для решения таких систем применяется метод прогонки.

Вычисления прогоночных коэффициентов

Из (7) имеем:

Из (8) получаем:

На основе (5) можно записать:

Алгоритм решения системы (9) состоит из двух этапов: прямого и обратного хода прогонки. Обозначим , тогда из первого уравнения системы следует:

Подставим во второе уравнение системы (9) приi=1 и выразим:

Продолжая подстановку далее, получим на к-ом шаге уравнение

, к =1,2,…М-1 (10)

где и; (11)

причём (12)

Формулы (11) определяют прямой ход прогонки, в результате которого рекуррентно вычисляются прогоночные коэффициенты и. Далее по известному коэффициентуиз (12) определяютсяи, а затем по формуле (10) находятся остальные. Это обратный ход прогонки.

Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается при условии выполнения следующей теоремы:

если коэффициенты системы уравнений метода прогонки удовлетворяют следующие условия

причем хотя бы одно из неравенств {1} или {2} является строгим, тогда для метода прогонки имеют место неравенства:

которые гарантируют корректность и устойчивость метода прогонки. Выполнение этих условий проверяется в процессе работы программы.