2.2 Способы построения цмр

Способ математической обработки цифровой информации о рельефе во многом определяется схемой получения и организации исходных данных . При этом всегда решается задача интерполирования отметок между опорными точками при стремлении выполнить следующие противоречивые требования :

использовать относительно простые схемы организации данных при минимуме исходной информации;

обеспечивать необходимую точность определения отметок при восстановлении модели рельефа;

позволять объективно оценивать точность приближения к действительной топографической поверхности;

обеспечивать возможность преобразования цифровой информации в традиционную образно-графическую форму.

Дя решения топографических и инженерных задач предложено и используется множество различных способов математического моделирования рельефа , основанных на линейных и нелинейных схемах интерполирования отметок между опорными точками.

Наиболее простые способы обработки используются при получении исходной информации по “плотным” регулярным сеткам – сеткам квадратов или прямоугольников, в вершинах которых определяются опорные точки.

Задача восстановления отметок в промежуточных точках между опорными точками в этом случае достаточно проста и может основываться на линейном интерполировании отметок.

Но для получения достаточной точности при моделировании рельефа сколько-нибудь расчленённого участка местности по такой схеме необходимо получать и хранить весьма значительные объёмы исходной информации. Увеличение шага сетки и применение нелинейных методов интерполирования не обеспечивают в общих случаях однозначных результатов.

Так как узлы сетки накладываются на топографическую поверхность случайным образом , то смещение её положения будет каждый раз давать разные результаты в смысле приближения к поверхности. Лишь очень плотное множество регулярно расположенных точек может обеспечивать хорошее приближение к реальной поверхности.

Одной из возможностей сокращения объёма исходной информации при цифровом моделировании рельефа является использование нелинейных методов интерполирования высот. Условно их можно разделить на несколько групп, отличающихся как методикой построения интерполяционных формул, так и схемой расположения опорных точек.

Первая группа методов. Методы построения для каждой определяемой точки своей поверхности, характеризующейся минимумом взвешенной суммы квадратов отклонений от опорных точек.

Вторая группа методов. Методы основаны на суммировании поверхностей, построенных в опорных точках.

Третья группа методов Методы основаны на разбиении обрабатываемого участка на элементарные локальные участки правильной формы, поверхность каждого из которых представляется полиномом малой степени. Для их сшивки накладываются условия непрерывности поверхности на границах (равенство координат, первых и вторых производных). Все локальные полиномы определяются с минимизацией суммы квадратов отклонений в опорных точках одновременно.

Четвертая группа методов Методы полиномиальной аппроксимации между узлами регулярной сетки.

Пятая группа методов Интерполяция по треугольной сетке опорных точек.

К одной из групп отнесены способы построения модели между опорными точками, расположенными на характерных (орографических) линиях рельефа.

Довольно распространённые способы первой группы используются обычно при произвольном расположении опорных точек для перехода от цифровой модели к продольным профилям с равномерным шагом или к сетке квадратов, прямоугольников или треугольников (обычно равносторонних).

Высота точки с заданными координатами Х, Y находится путем построения в окружающей ее окрестности интерполирующей поверхности первой, второй и реже третьей степени. С этой целью из общего массива опорных точек отбираются ближайшие к определяемой, удаленные от нее не более чем на заданное расстояние R.

Интерполирующая поверхность выражается обычно алгебраическим многочленом степени не выше второй, а число используемых членов может быть различным. Для полного многочлена второй степени

(2.1)

необходимо определить шесть неизвестных коэффициентов, которые находятся решением системы уравнений (2.1), составляемых по координатам опорных точек. При числе опорных точек, превышающем число определяемых неизвестных, система уравнений вида (2.1) решается под условием ЗдесьP_K  веса или весовые функции, связанные обычно с положением опорных точек относительно определяемой. Для каждой определяемой точки строится своя интерполирующая поверхность, которая может отличаться не только значением коэффициентов, но и количеством используемых членов. Отсюда и наименование метода — способ движущейся или блуждающей поверхности.

Различными исследователями предложено и разработано множество модификаций, отличающихся способом отбора точек, размером области моделирования, вычислением весовых коэффициентов.

В качестве аргумента в выражениях для определения веса опорной точки обычно используется отношение расстояния от определяемой точки до опорной (R_K) к радиусу зоны поиска (R₀) : .Применяются, в частности, весовые функции вида:(2.2).

Значения веса изменяются с различной скоростью в зависимости от вида функции от 1 до 0 на границе области интерполирования.

Методика моделирования различается также схемами отбора опорных точек.. Если используется интерполирующая поверхность (2.1) с неизменяемым числом членов, зона поиска расширяется до тех пор, пока в нее попадает необходимое число точек: для полного многочлена второй степени 6  8 точек, для неполного  5  б, для многочлена первой степени (плоскость общего положения)  3  4 точки.

В других случаях используется постоянная зона поиска, а число членов интерполирующего уравнения изменяется в зависимости от числа попадающих в эту зону опорных точек.

Но, как показывают результаты отечественных и зарубежных исследований, методы этой группы гарантируют получение хороших результатов только при достаточной густоте опорных точек, которая при съемках в крупных масштабах составляет в среднем 80  100 точек на 1 га. Дело в том, что здесь слишком много субъективных факторов, начиная от размера области моделирования и кончая определением весов.

Кроме того, при геометрической схеме отбора опорных точек нет никаких гарантий, что в области моделирования не будут одновременно использоваться опорные точки, располагающиеся на противоположных скатах, за линией их разлома.

Учет этого фактора при моделировании рельефа на основе одного из методов этой группы возможен путем анализа расположения определяемой и опорных точек относительно линии разлома рельефа и исключения точек, не располагающихся на одноименном с определяемом скате.

Это усложняет схему измерения и отбора точек, но повышает точность моделирования, а также и объем необходимой информации.

В предположении, что рельеф является стандартной случайной функцией распределения отметок или превышений, рядом авторов для интерполирования высот в некоторой области предлагается использовать корреляционный аппарат:

высота любой точки в пределах обрабатываемой области находится на основе выражения , (2.3)

где C_K  вектор значений некоторой корреляционной функции (F) расстояний между определяемой и опорными точками; B_n  матрица размерности (n), содержащая значения этой же функции расстояний между опорными точками; Z_n  вектор, содержащий отметки опорных точек.

Геометрическая интерпретация такого метода интерполирования отметок соответствует суммированию n регулярных (обычно квадратичных) поверхностей, центрированных в каждой из опорных точек.

Разработанные в соответствии с этим принципом способы моделирования отличаются характером корреляционной функции (F), выбираемой обычно эмпирически. Так, в частности, в опубликованных работах без специальных обоснований приводятся следующие выражения для этой функции:

F₁ = 1  r² ;F₂ = exp(-ar²);

F₃ = exp(-ar^K);F₃ = 1/(1 + r₂). (2.4)

Поликвадратический метод интерполяции (мультиквадрики) использует функцию вида , (2.5)

где d  расстояния между опорными точками; а  некоторая постоянная.

При использовании этой группы методов результаты, как показывает теоретический анализ, могут зависеть от начала отсчета высот.

В этом методе функция F в явном виде определяется путем решения системы линейных уравнений вида

_n

(2.6)

^j=1

что соответствует использованию корреляционной функции вида (2.5) при р = 1/2.

Особенностью такого рода интерполяционных методов является предположение, что рельеф является стационарной случайной функцией, и при подборе соответствующих корреляционных зависимостей можно было бы выразить его в аналитическом виде лучше, чем при любой детерминированной постановке.

Отсюда очевидное следствие  на каждом из моделируемых участков должна подбираться своя коррелирующая функция. Такой подход мог бы быть реализован следующим образом. Примем, например, в качестве основы для определения вида этой принятой функции выражение (2.5), а значение параметров а и р будем подбирать в некотором диапазоне для каждого из участков моделирования путем минимизации суммы квадратов уклонений в контрольных точках с известной высотой, не включаемых в вычисления. Пусть а = 0, а значение р меняется в диапазоне от -4 до +4. Выполнив все реализации с оценкой уклонений в контрольных точках, можно будет, как представляется, подобрать для конкретной случайной реализации наиболее приемлемое выражение для F.

Такой подход может быть осуществлен и при использовании набора корреляционных функций вида (2.4).

В целом в вычислительном отношении моделирование с использованием этой группы методов ограничивается лишь размерностью обращаемой матрицы В, которая определяется числом используемых опорных точек.

Если первая группа методов основана на построении своей интерполирующей поверхности для каждой определяемой точки, то во второй группе методов поверхность моделируемого участка представляется системой ” кусочных ” многочленов.

В пределах каждого элементарного участка по входящим в него опорным точкам строится интерполирующий многочлен второй или третьей степени. Особенностью является определение коэффициентов всей системы многочленов совместно с соблюдением условий непрерывности и ”гладкости” по границам элементарных участков, входящих в область моделирования. При этом одновременно находятся и значения высот точек в узлах прямоугольной или квадратной сетки с заданным шагом.

Остальные методы являются модификациями этих трех?? и основаны на нелинейных методах интерполяции в прямоугольной или треугольной сетке, а также по системе точек, определённых на параллельных профилях.

Распространен способ аппроксимации системой плоских треугольников с общими вершинами. Если аппроксимируется равнинная поверхность, то строятся большие треугольники, если же рельеф изрезан – малые.

Некоторыми особенностями отличаются модели, предусматривающие расположение опорных точек по характерным линиям рельефа. Здесь, как правило, используются линейные схемы интерполяции.

Анализ большинства из предложенных схем и методов моделирования рельефа показывает, что они обладают недостатками, главными из которых являются:

1) формальный подход к задаче моделирования рельефа аналитическими функциями и игнорирование сложившейся технологии изображения рельефа, основанной на многолетнем опыте топографических съемок;

2) отсутствие теории и объективных характеристик для оценки точности восстановления рельефа;

3) необходимость избыточной информации и отсюда значительные затраты на ее получение.

Это относится, прежде всего, к попыткам представить рельеф сколько-нибудь значительных участков земной поверхности аналитическими выражениями вида Z = f(X,Y) .

Детальный анализ схем и методов построения ЦМР привел к разработке системы моделирования рельефа.

Система ”Топоаналог” отличается определённостью оценок точности восстановления рельефа по цифровой информации, а реализованный в ней алгоритм моделирования представляет собой формализованный аналог действий человека при определении высот точек по картам визуальным или графоаналитическим путем.

Информация о рельефе в пределах некоторого участка местности (например, в пределах стереопары) формируется по схеме, соответствующей традиционной технологии топографических съемок, в виде массивов точек по скелетным линиям рельефа, горизонталям и экстремальным точкам. Обычно при анализе образно-графических моделей, выражающих рельеф поверхности (карт или планов), используется представление поверхности в виде системы плоских треугольников или многогранников и линейчатая схема интерполирования высот (рис.2.1)

Если реализовать такую же схему при машинной обработке цифровой информации, то для оценки ожидаемой точности применимы используемые топографической практикой критерии.

Основой способа моделирования в этой системе является поиск точек пересечения заданных тем или иным путем линий профилирования с горизонталями, заданными семействами точек (Х_i,j ; Y_i,j; Z_i,j), скелетными (орографическими) линиями (Х_i , У_i , Z_i) и выделяемыми путем формального анализа ребрами многогранников. Отметки точек пересечений находятся затем путем линейного интерполирования высот по отрезкам этих линий. В итоге вдоль задаваемых сечений строится ломаная профильная линия, содержащая только характерные перегибы поверхности.

Точность определения отметок такого профиля будет зависеть, прежде всего, от правильности определения положения рёбер многогранников, представляющих поверхность между основными горизонталями и скелетными линиями, разделяющими поверхность на участки с однородными в некотором смысле склонами. Так как горизонтали и скелетные линии представляются ломаными, то для определения положения ребер в смежных гранях достаточно было бы соединить соответствующие точки перегиба смежных горизонталей (рис. 2.2).

Но в общем случае выполнить это формальным путем без дополнительной информации не представляется возможным.

С некоторым приближением положение ребра как линии интерполирования отметок определяется биссектрисой угла между смежными хордами, представляющими горизонталь. Точность определения точек перегиба профильной линии будет зависеть от степени расчленённости рельефа моделируемого участка, выражающейся значениями углов поворота хорд на горизонтали. Относительную погрешность определения высот можно оценить так h : h  K tg  tg /2 ,(2.7)

где h —сечения рельефа горизонталями;  - угол поворота смежных хорд на горизонтали;  - угол между направлениями биссектрисы Б и грани 1 - 2 (рис. 2.3); K—коэффициент, связанный с положением точки пересечения профиля на грани, принимающий значения от 1 до 0.

Приведенное выражение позволяет оценить относительную погрешность определения высот в зависимости от расчлененности рельефа и погрешностей направлений линий наибольшего ската в точках, перегиба горизонталей, при сечении рельефа h. Используя это выражение, можно установить, в каких случаях следует фиксировать при подготовке исходной информации о рельефе наряду с горизонталями и положение скелетных линий. Так, например, полагая

h : h  0,2  0,4  10^о и K = 0,5

найдем, что требуемая точность определения отметок профиля в точках пересечения с биссектрисами как линиями перегиба скатов может быть достигнута при условиях, что в пределах участка, ограниченного основными скелетными линиями, углы поворота смежных хорд на горизонталях должны быть меньше б0 – 70^о.

Такой допуск обеспечивается при обычной технологии обработки фотоснимков в процессе составления топографических планов или карт и не ставит дополнительных условий на действия оператора.

Изложенная технология, как показывает анализ, проведенный на реальных топографических материалах, выражающих местность в широком диапазоне категорий рельефа, позволяет уменьшить, объем исходной информации по сравнению с описанными выше формально математическими методами моделирования, по крайней мере, в 4 - 5 раз.

Существенным преимуществом этого способа цифрового моделирования рельефа является также то, что исходная информация получается одновременно с построением топографических планов традиционными методами, а получаемая при этом образно-графическая информация может использоваться для контроля и корректировки исходных данных.

Для определения высот внутри участков, ограниченных скелетными линиями, могут использоваться и нелинейные методы интерполирования, основанные, например, на построении локальных полиномов или поликвадратических поверхностей по зависимостям (2.3).

В некоторых работах такой способ моделирования называется структурно-аналитическим, а схема, изложенная выше, - структурно-цифровой. Такое деление представляется искусственным, так как в обоих случаях интерполирование выполняется аналитическим путем.

Принципиальной особенностью здесь является расчленение поверхности на участки с однородными в заданном смысле склонами, внутри которых допустимо использование относительно простых способов интерполирования - линейных, линейчатых или параболических.

Применительно к задачам автоматизированного проектирования линейных инженерных сооружений (дорог, трубопроводов, линий высоковольтных передач и т. п.) разработана методика моделирования рельефа на основе аналитической или аналого-аналитической обработки аэрофотоснимков, предусматривающая использование поперечников в заданной полосе.

Положение оси проектируемого сооружения, полоса возможного варьирования и поперечники на перегибах местности в этой полосе определяются путем стереоскопического просмотра первичных аэрофотосъемочных материалов.

В процессе последующей стереофотограмметрической обработки аэрофотоснимков на универсальных приборах или стереокомпараторах определяются координаты точек на углах поворота трассы и вдоль поперечников общего вида, которые могут одновременно характеризовать и ситуационные особенности местности (пересекаемые водотоки, границы угодий и т. п.).

Задавая затем приближенно определенные по первичным материалам технические параметры сооружений (радиусы круговых и длины переходных кривых, длины допустимых прямых вставок и т. п.), по координатам вершин углов поворота рассчитывают детальный план трассы, соответствующий заданным нормам проектирования.

Для построения основных точек перегиба продольного профиля организуется поиск пересечений рассчитанной оси трассы с отрезками на поперечниках. Отметки пикетных и других точек, характеризующих план трассы (начала и концы кривых), а тактике отметки на поперечниках, нормальных к оси трассы в точках перегиба профиля, и на пикетах, необходимые для подсчета объемов работ по принятой методике, находятся путём построения интерполирующих поверхностей вида Z = f(X, Y) между заданными поперечниками. Достаточно надежным и обеспечивающим необходимую точность является использование метода поликвадратической интерполяции в этих промежутка на основе выражений вида (2.6).