Часть 2. Некоторые способы создания цмр. ( Использ ста. Источники Соколов в.С., цниигАиК и другие более ранние, ., Журкин и.Г., мои лекции в виа)

функции, используемые для аппроксимации рельефа

способы построения ЦМР

Сопоставление некоторых способов моделирования рельефа

2.1. Функции, используемые для аппроксимации рельефа

Основной, при построении цифровых моделей рельефа, является задача интерполирования значений высот между отметками. Для этой цели используется многочисленный набор функций и способов. Ниже приведены некоторые из них.

Проблемы аппроксимации:

(1) из чего строить, т.е. исходный материал (вид ЦМВ рельефа: регулярный, полурегулярный, произвольный),

(2) что нужно получить (горизонтали рельефа местности одно, горизонтали искусственной детали – другое), поверхности – третье.

(3) каким методом построить искомое. Искомым может быть точка регулярной матрицы, горизонталь, профиль, участок поверхности и т.п.

Горизонталь. (1) имеет переменную кривизну, ее нельзя описать набором элементарных функций, (2) она есть многозначная функция: одному значению Х соответствует , как правило, множество значений У (3), как правило, это неразрывная функция (кроме рек и обрывов, хотя бы условно), (4) это положительно определенная функция, не имеет пределов точек (0,0), (∞∞).

Для учета переменной кривизны горизонталь составляют из кусков кривых, т.е. выполняют кусочное интерполирование.

Для учета многозначности применяют кусочное интерполирование, а также используют параметрические функции (X=X(t) b Y=Y(t), где XY принадлежат точкам с равными высотами).

Аппроксимация пространственной кривой (плоской).

Пространственной кривой будет любая кривая, положение точек на которой определяется тремя координатами X, Y, Z. На карте ей может соответствовать плоская кривая. Если над ней построить геометрическое место точек, которое определит положение дороги над горизонтальной плоскостью, то получится пространственная кривая. Например, профиль местности – пространственная кривая, в плане она может оказаться прямой линией, горизонталь – плоская кривая.

Поставим задачу аппроксимации. Дана пространственная кривая. Для неё известно значение координат в ряде точек X, Y, и Z. Необходимо подобрать такую функцию f(X, Y, Z), которая в данных точках обращалась бы в ноль, в других же точках соответствующей плоской кривой расхождение по третьей координате равное –(X, Y) было минимальным.

Аппроксимация поверхности двойными рядами Фурье.

L_x , L_y – пространственные перегибы по осям x, y; A_mn , B_mn , C_mn , D_mn – коэффициенты Фурье

m₀ , n₀ – наибольшее число гармоник по осям x, y; m ,n – пространственные частоты по осям x, y

Двойные ряды Фурье обладают лучшими интерполяционными свойствами, чем алгебраические полиномы, но худшими, чем некоторые другие из рассматриваемых в этой главе способов аппроксимации.

Аппроксимация поверхности плоскостями.

Для аппроксимации берут плоскости Ax+By+Cz-D=0. Каждая из плоскостей проходит через свои три точки с координатами x , y , z. Для каждой плоскости в плане находят центры тяжести . Затем отыскивается треугольник, куда попадает искомая точка j. Для этого подставляют координаты искомой точкиx_j , y_j и поочерёдно X₀ , Y₀ каждого центра тяжести в уравнение сторон треугольника: ;;.

Если знаки одинаковые, то точка находится внутри треугольника. Высота точки (x, y) находится из решения определителя, записанного для данного треугольника: .

Аппроксимация поверхности поверхностями вращения (мультиквадрики).

Вокруг вертикальной оси в каждой точке ЦМР строят поверхность вращения (коническая, гиперболическая).

Поверхность описывается уравнением z = c_jq(x_j , y_j , x, y), где x_j , y_j – координаты j-ой опорной точки; x , y – искомая точка; c_j – наклон поверхности; q(x_j, y_j, x,y) – квадратичная функция формы или квадрика точки j.

Поверхность аппроксимируется суммой частных квадрик – мультиквадриковая поверхность. Для n квадрик аппроксимирующая поверхность имеет вид: . Если квадрика есть гиперболоид?, то -. окружность

Если В=0, то это круговой конус, у которого вершина находится в точке с координатами (x_j , y_j.)

Для определения мультиквадриковой поверхности необходимы координаты опорных точек X_j, Y_j, Z_j.

Аппроксимация поверхности алгебраическими полиномами.