курс лекций ТММ / курс лекций ТММ / Лекции3 и4 тмм

Лекция №3

Кинематический анализ плоских механизмов.

Целью кинематического анализа является определение перемещений,

скоростей и ускорений звеньев или каких-то их точек при заданных размерах и движении ведущего звена.

. Расчёт может быть осуществлён аналитическим или графо-аналитическим методами. Последний метод менее точен, но проще и менее трудоёмок, благодаря чему часто применяется на практике, когда обеспечивает требуемую точность.

При их использовании необходимо по заданным размерам вычертить в масштабе схему механизма в заданном положении (рис.3.1). В данном курсе методика кинематического, силового и динамического расчёта используется для случая кривошипно- ползунного механизма Рассматривается наиболее распространенная схема центрального механизма, в котором линия движения точки В ползуна проходит через центр вращения кривошипа (используется в двигателях внутреннего сгорания). Механизм имеет одну степень свободы: положение всех его подвижных звеньев можно задать с помощью одного независимого параметра (например, угла поворота кривошипа).

Рис.3.1

Аналитическое определение перемещений, аналогов скоростей и ускорений.

Введем в рассмотрение правую систему координат X, Y с центром в точке O. Ось X параллельна линии движения ползуна. Считаем известными размеры кривошипа OA=, шатуна AB=. Направление вращения кривошипа принимаем против часовой стрелки. За один оборот кривошипа ползун перемещается между двумя крайними положениями B' и B'' на величину S_max=. Величину перемещения S отсчитываем от крайнего левого положения ползуна B' , а величину угла от соответствующего положения кривошипа (OA').

Введем в рассмотрение замкнутый векторный контур OABO. В любом положении механизма выполняется условие:

. (3.1) Углы, составленные данными векторами с положительным направлением оси X и отсчитываемые против часовой стрелки, соответственно равны , , 0. Спроектируем векторное уравнение (3.1) на оси X, Y: , (3.2) . (3.3)

Учитывая, что и , после преобразований получаем из уравнений (3.2) и (3.3) функции положения шатуна и ползуна ;

угол поворота шатуна (3.4) перемещение ползуна . (3.5) Здесь .

Определим координаты произвольной точки С шатуна. Ее положение задается расстоянием . В векторной форме . В проекциях на оси X, Y получаем функции положения точки С.

, (3.6) .

Первая и вторая производные от функции положения по углу называются аналогами скоростей и ускорений.

Найдем зависимости для вычисления аналогов скоростей и ускорений звеньев и точек механизма.

Дифференцируя дважды уравнение (3.4) по , получим выражения для аналогов угловой скорости и углового ускорения шатуна ; (3.7) . (3.8)

Дифференцируя дважды уравнение (3.5) по , получим зависимости для нахождения аналогов скоростей и ускорений ползуна : (3.9)

. (3.10)

Дифференцируя дважды уравнения (3.6) по , получим в проекциях на оси X,Y выражения аналогов скорости и ускорения произвольной точки С шатуна:

; ; (3.11

); (3.12)

.

При значениях для определения перемещения, аналогов скорости и ускорения ползуна можно использовать приближенные завис

. (3.13) . (3.14) . (3.15)

Для наглядного представления о характере изменения геометрических и кинематических параметров механизма строятся кинематические диаграммы.

Рис.3.2

При построении необходимо учитывать взаимосвязь между ними, выражающуюся в согласованном расположении характерных точек. Нулевому значению аналога скорости соответствует максимальное (или минимальное) значение перемещения ползуна. Нулевым значениям аналога ускорения соответствуют точки максимума или минимума на графике аналога скорости и точки перегиба на графике перемещения. Точкам максимума или минимума на графике аналога ускорения соответствуют точки перегиба на графике аналога скорости.

Определение скоростей и ускорений звеньев и их точек

Скорости и ускорения звеньев и их точек определяются при заданной угловой скорости и угловом ускорении ведущего звена (кривошипа). Для нахождения скоростей звеньев необходимо продифференцировать их перемещения по времени t в соответствии с правилами дифференцирования сложных функций.

Угловая скорость шатуна: . (3.16)

Аналог углового ускорения шатуна определяется по зависимости (3.7).

Линейная скорость ползуна . (3.17)

Аналог скорости ползуна находится по зависимости (3.9) или (3.14).

Линейная скорость точки С шатуна в проекциях на оси X,Y

; . (3.18)

Величины определяются по зависимостям (3.11).

Модуль вектора скорости . (3.19)

Угловое ускорение шатуна найдем дифференцированием по времени t выражения (3.16): . (3.20) Величина аналога углового ускорения шатуна определяется по

зависимости (3.8).

Линейное ускорение ползуна найдем дифференцированием по времени t зависимости (3.17) . (3.21)

Аналог ускорения ползуна определяется по зависимости (3.10) или (3.15).

Линейное ускорение точки С шатуна в проекциях на оси X, Y находим дифференцированием по времени зависимостей (3.18):

; . (3.22)

Величины находятся по зависимости (3.12).

Модуль вектора ускорения точки С . (3.23)

Лекция № 4

Определение скоростей и ускорений плоских рычажных механизмов методом планов

Данный метод позволяет вычислить величины скоростей и ускорений без использования аналитических зависимостей. Подробное изложение данного метода приведено в работах [1], [2]. Построение планов скоростей и ускорений выполним для кривошипно –ползунного механизма в положении , показанном на рис. 4.1.

Рис.4.1

Скорость точки А, принадлежащей звеньям 1 и 2, определим как окружную во вращательном движении: . Вектор направлен перпендикулярно ОА в сторону . Для определения скорости точки В, принадлежащей звеньям 2 и 3, разложим движение звена 2 на переносное поступательное вместе с точкой А и относительное вращательное вокруг точки А. Тогда имеем . (4.1)

В данном уравнении вектор известен, линия действия совпадает с линией движения ползуна, линия действия относительной скорости перпендикулярна линии АВ шатуна.

Решение этого векторного уравнения производим графически путем построения плана скоростей (рис.4.2).

Из полюса р проводим отрезок р произвольной длины, изображающий вектор . Масштаб плана скоростей . Рекомендуется при построении принимать . Далее из полюса проводим линию действия скорости параллельно линии хода ползуна, а через точку - линию действия перпендикулярно АВ. Точка пересечения двух линий определяет величины векторов. ; .

Направление векторов и определяется по уравнению (4.1).

Угловая скорость шатуна . Её направление определяется по направлению скорости , приложенной в точке В.

Для нахождения вектора скорости точки С шатуна воспользуемся изображающими свойствами плана скоростей [1]. В соответствии с ними три точки одного звена на схеме механизма и три соответствующие точки на плане скоростей образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. В данном случае три точки А, В, С шатуна находятся на одной линии. Следовательно, изображающая точка С на плане скоростей будет расположена между точками и . Её положение определится из соотношения: . Вектор проводим из полюса в точку С. .

Рис.4.2

Построение плана ускорений выполним для того же положения механизма (рис.4.1).

Ускорение точки А складывается из двух составляющих: центростремительного и вращательного. .

Для упрощения задачи будем считать угловую скорость кривошипа постоянной. Тогда угловое ускорение кривошипа , и . Следовательно, .

Вектор направлен параллельно ОА к центру вращения.

Определение ускорения точки В производится на основании разложения движения звена 2 на переносное поступательное с точкой А и относительное вращательное вокруг этой точки.

В соответствии с этим ускорение точки В определится из векторного уравнения

Так как относительное движение - вращательное: .

Тогда : . (4.2)

Следует заметить, что кориолисово ускорение в данном случае равно 0, так как переносное движение поступательное.

Центростремительное ускорение направлено параллельно шатуну от точки В к точке А. .

Вращательное ускорение перпендикулярно . Линия действия совпадает с линией движения ползуна. Решение уравнения (4.2) проводим графически путем построения плана ускорений (рис. 4.3).

Рис.4.3

Из полюса проводим отрезок произвольной длины, изображающий вектор . Масштаб плана ускорений . Рекомендуется при построении принимать 100мм. Далее, из точки откладываем в виде отрезка параллельно АВ в направлении от точки В к точке А.

Из точки проводим линию действия перпендикулярно шатуну АВ, а из полюса линию действия параллельно линии хода ползуна.

Точка пересечения этих линий определяет величины ускорений.

, .

Направление векторов и определяются по уравнению (4.2).

Угловое ускорение шатуна . Его направление определяется по направлению ускорения , приложенному в точке В.

Для нахождения вектора ускорения точки С шатуна воспользуемся изображающими свойствами плана ускорений, которые аналогичны свойствам плана скоростей [2]. Изображающая точка С на плане ускорений будет находиться между точками и . Её положение определится из соотношения:

.

Вектор проводим из полюса в точку С. .