курс лекций ТММ / курс лекций ТММ / Лекция7.8,9,10

Лекция № 7

Зубчатые передачи.

Являются наиболее распространёнными механизмами, используемыми в машиностроении. В технике различают трёхзвенные зубчатые передачи, многоступенчатые передачи и планетарные передачи. Трёхзвенная передача состоит из двух зубчатых колёс и стойки.

Классификация и типы зубчатых передач.

Передача, в которой угловая скорость ведомого звена меньше, чем угловая скорость ведущего звена, называется понижающей передачей (редуктор). Если в зубчатой передаче происходит увеличение угловой скорости ведомого звена, передача называется повышающей (мультипликатор).

По расположению осей вращения различают:

1.- оси колёс параллельны (цилиндрические передачи).

2.- оси колёс пересекаются (конические передачи)

3.- оси колёс перекрещиваются.

На рис.7.1 приводятся условные изображения трёхзвенной цилиндрической зубчатой передачи внешнего зацепления (рис.7.1, а), цилиндрической передачи внутреннего зацепления (рис.7.1, б) и реечной зубчатой передачи (рис.7.1,в ).

На условных изображениях плоских и пространственных зубчатых пар колёса на виде с торца изображают штрихпунктирными линиями. Зубья изображают только на зубчатой рейке. На виде сбоку зубчатые колёса изображают сплошными линиями.

Рис.7.1

В некоторых случаях на кинематической схеме требуется различать прямозубые и косозубые колёса. Соответствующие условные обозначения представлены на рис.7.2, а и 7.2, б.

Для различения колёс, вращающихся на оси и закреплённых на валу, применяют условные обозначения колёс по рис.7.2, в и 7.2, г.

Рис. 7.2

На рис.7.3 показано в двух проекциях условное изображение конической зубчатой передачи, которая передаёт вращение между пересекающимися осями.

Рис.7.3

На рис.7.4 приводятся два варианта передач между перекрещивающимися осями.

На рис.7.4,а дано условное изображение червячной передачи с цилиндрическим червяком .

На рис.7.4,б показана винтовая зубчатая передача.

Рис.7.4

Оси колёс в этих передачах перекрещиваются. Червячная передача применяется для передачи вращения от червяка к червячному колесу в качестве понижающей передачи. При зацеплении зубья червяка и колеса находятся в линейном контакте.

Винтовая зубчатая передача состоит из двух косозубых (винтовых) колёс. Ввиду того, что зубья в винтовой передаче касаются в точке, её нагрузочная способность ниже, чем нагрузочная способность червячной передачи.

На кинематических схемах червячных и винтовых передач должно быть задано направление винтовой линии червяка в червячной передаче и направление винтовой линии одного из зубчатых колёс винтовой зубчатой передачи. Различают правые и левые винтовые линии.

Для определения направления винтовой линии следует мысленно перемещаться по образующей цилиндрической заготовке червяка или косозубого колеса, начиная движение от любого из двух его торцов, до встречи с винтовой линией и, рассматривая винтовую линию как препятствие, продолжать движение по винтовой линии. Если при этом потребуется повернуть направо, винтовая линия называется правой, при повороте налево-левой винтовой линией. На кинематических схемах по рис.7.4 червяк и косозубое колесо винтовой передачи представляют собой соответственно правый червяк и левое косозубое колесо.

Различные варианты передач представлены на рис.7.5 и 7.6.

Рис.7.5,а – коническая передача с косыми зубьями.

Рис.7.5,б - червячная передача с цилиндрическим червяком.

Рис.7.5,в - винтовая зубчатая передача.

Рис.7.5, г- цилиндрическая передача внутреннего зацепления.

Рис.7.5

Рис.7.6,а - цилиндрическая косозубая передача внешнего зацепления.

Рис.7.6,б – шевронная передача.

Рис.7.6, в – коническая прямозубая передача.

Рис.7.6, г- коническая передача со спиральными зубьями.

Рис.7.6

По характеру контакта зубьев передачи бывают с линейным и с точечным контактом зубьев.

В передачах с линейным контактом зубья колёс образуют 3-х или 4-х подвижную кинематическую пару (лекц.1, рис.1.7 ,1.8). В этом случае передача имеет большую нагрузочную способность , однако более чувствительна к погрешностям изготовления и монтажа.

Передачи с точечным контактом (лекц.1,рис.1.9) мало чувствительны к погрешностям изготовления и монтажа, но имеют значительно меньшую нагрузочную способность.

По кинематическому признаку передачи делятся на сопряжённые и несопряжённые.

Передаточное отношение двух зацепляющихся колёс это отношение их угловых скоростей в данном положении. Оно обратно отношению чисел зубьев: i_ab=(_a/_b)=(Z_b/Z_a) (7.1)

В сопряжённых передачах оно всегда теоретически постоянно. В несопряжённых- при перезацеплении зубьев происходит некоторый скачок скорости ведомого звена, что приводит к ударам в зацеплении и к большему шуму при работе колёс.

Плоские цилиндрические передачи.

Элементы теории зацепления плоской передачи.

Рассмотрим передачу вращения двумя звеньями (рис.7.7). Тогда, действуя друг на друга в точке С контакта, они будут вращаться в противоположные стороны с угловыми скоростями ₁ и ₂ .Установим соотношение между этими скоростями.

Рис.7.7

Окружные скорости точки С на каждом из звеньев

(7.2)

Проведем в точке С контакта нормаль n-n и касательную т — т к профилям зубьев и разложим скорости vcx и vC2 на нормальные

(7.3)

и касательные составляющие

где _Сi,— угол между абсолютной скоростью точки контакта тела i и нормалью к профилю в этой же точке, численно равен углу между радиусом OiC и перпендикуляром O_iN_i, опущенным из центра вращения звена i на нормаль n — n(i= 1,2 --номера звена).

Условие контакта (сопряжения) звеньев будет обеспечено лишь при равенстве нормальных составляющих скоростей

(7.4)

что вытекает из равенства координат сопряженных (имеющих общую внешнюю нормаль) точек контакта.

Из соотношений (7.3) и (7.4) следует, что

Соединим центры О₁ и О₂ прямой и обозначим через П точку пересечения этой прямой с нормалью n — n.

Тогда из полученных треугольников O₁N₁П и O₂N₂.П найдем

(7.5)

Зависимость (7,5) выражает основной закон зацепления: нормаль к профилям в точке контакта делит расстояние между центрами (межцентровое расстояние) на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев.

Отметим, что при постоянном передаточном отношении точка П будет занимать на линии центров неизменное положение. Для обеспечения постоянного передаточного отношения в процессе зацепления профили звеньев должны быть подобраны так, чтобы в любом положении профилей нормаль в точке их контакта пересекала бы линию центров в одной и той же точке П. Эта точка, таким образом, оказывается неподвижной в пространстве и называется полюсом.

Теоретически один из профилей зубьев может быть выбран произвольно, но для обеспечения условия i₁₂= const форма профиля второго зуба должна быть вполне определенной. Профили зубьев, зацепление которых обеспечивает постоянное передаточное отношение, называют сопряженными. В этом случае центроидами колёс в их относительном движении являются окружности, которые называют начальными.

Для реальных передач важно использовать профили зубьев наиболее технологичные и рациональные при изготовлении и в эксплуатации.

Одним из таких профилей является эвольвентный, имеющий наиболее широкое применение в зубчатых передачах.

Эвольвентное зацепление, предложенное Л.Эйлером, имеет преимущество перед другими видами зацеплений благодаря высокой технологичности.

Существуют и другие виды зацеплений (циклоидальное, цевочное, часовое и т. д.).

На рис.7.8 и показаны схемы передач внешнего и внутреннего зацепления.

Межосевое расстояние а_w=r_w1± r_w2. (7.6)

Здесь r_w1 и r_w2 -радиусы начальных окружностей, которые перекатываются друг по другу без скольжения. Знак “-” соответствует внутреннему зацеплению (рис.7.9).

Скорости колёс в полюсе Р равны. Отсюда следует, что передаточное отношение

i₁₂=(₁/₂)=(Z₂/Z₁)= (r_w2/ r_w1). (7.7)

Отсюда: а_w= r_w1(1+ i₁₂). (7.8)

Рис.7.8

Лекция № 8.

Прямозубая эвольвентная передача.

Состоит из колёс, рабочий участок профиля зубьев которых в торцевом сечении (перпендикулярно оси вращения) очерчен по эвольвенте окружности.

Эвольвента – плоская кривая, описываемая любой точкой прямой линии, катящейся без скольжения по окружности радиуса r_b . (рис.8.1) В теории зацеплений эту окружность называют –основной . Из рисунка следует:

∪AN = KN ; r_b ⋅ϕ = r_b ⋅ (θ + α) ,

Из ΔONK следует: KN = r_b ⋅tgα

α – профильный угол эвольвенты в данной точке;

(θ +α )⋅ r_b = r_b ⋅tgα ;

θ = tg(α ) −α = inv(α) - (8.1) - эвольвентная функция (инволюта угла α )– полярный угол эвольвенты.

Свойства эвольвенты.

1) Внутри основной окружности эвольвенты не существует;

2) Нормаль в любой точке эвольвенты расположена по касательной к основной окружности;

3) Центр кривизны эвольвенты в любой точке лежит в точке касания нормали с основной окружностью.

Рис.8.1

Способы изготовления зубчатых колес

Различают способы изготовления зубчатых колёс:

1) Метод копирования – по этому способу инструмент копирует либо впадину, либо зуб, либо все зубчатое колесо. К этому способу изготовления зубчатых колес относятся: зубофрезерование модульными фрезами, литье, зубопротягивание, зубоштамповка. Метод копирования (рис. 8.2 а,б )

применяют при массовом или одиночном производстве. При методе копирования требуется большой инструментальный парк.

2) Метод огибания.

В настоящее время большинство зубчатых колес нарезаются высокопроизводительным методом огибания. Суть его заключается в том, что на станке за счет согласованных движений инструмента и заготовки воспроизводится зацепление зубьев инструмента (чаще реечного типа) и нарезаемого колеса. При этом профиль зуба колеса получается как огибающая семейства профилей инструмента, образуемого в относительном движении. Наибольшее распространение в машиностроении получили зубчатые колеса с эвольвентным профилем, который получается методом огибания при прямолинейном профиле инструмента реечного типа (рис.8.2в,г).

Копирование Огибание

Рис.8.2

Исходный контур.

Формы и размеры зубьев колес, нарезаемых методом огибания, зависят от профиля применяемого при этом инструмента реечного типа. Реечный профиль называется исходным контуром. Параметры исходного контура для цилиндрических эвольвентных колес (рис.8.3) стандартизованы . Профиль зуба прямолинейный и сопрягается с линией впадин дугой окружности. Стандартом установлены следующие параметры и коэффициенты исходного контура:

угол профиля ⁰;коэффициент высоты головки зуба h=1;

коэффициент радиального зазора с^*= 0,25;

коэффициент радиуса кривизны переходной кривой = 0,38.

Абсолютные размеры исходного контура получают умножением соответствующего коэффициента на модуль m:

m - стандартная величина, выбираемая из справочников.

высота головки зуба h_аo=hm; высота ножки зуба h_fo=(h+ c^*)m;

радиальный зазор с=с^*m;радиус скругления во впадине =m;

шаг р= m; (8.2)

толщина зуба по делительной прямой s₀ = 0,5p = 0,5m;

ширина впадины по делительной прямой е_о = 0,5р = 0,5m.

Производящий исходный контур, используемый для профилирования

инструмента, имеет дополнительную часть (заштрихованную на рис.8.3)

Рис.8.3

Элементы зубчатого эвольвентного колеса.Базой для определения элементов зубьев и их размеров принята окружность радиуса r, которая

называется делительной.

Рис.8.4.

Размеры зуба определяются толщиной зуба s по делительной окружности,

а также высотой головки h_а и высотой ножки h_f, которые измеряются как расстояния от делительной окружности соответственно до окружности вершин радиуса r_a и окружности впадин радиуса r_f.. Расстояние между зубьями определяется шириной впадины е или шагом р по делительной окружности, который равен шагу на исходном контуре (8.2). Перечисленные размеры связаны очевидными соотношениям : r_a = r+h_a,, r_f = r-h_f, p=s+ e . Количество шагов, размещающихся на длине делительной окружност и

равно числу зубьев z: 2r=zp .

откуда радиус делительной окружности, с учетом (8.2),

r = 0,5mz. (8.3)

Угол профиля в точке А на делительной окружности равен углу профиля исходного контура .

Главный профиль очерчен по эвольвенте основной окружности радиуса r_b. По свойству эвольвенты касательная AN к основной окружности является нормалью к эвольвенте. ПоэтомуAON = , как углы с параллельными сторонами (касательная AN перпендикулярна радиусу ON). Тогда из прямоугольного AON следует: r_b=rcos. (8.4)

Станочное зацепление.

При нарезании зубчатого колеса инструментом реечного типа на станке воспроизводится реечное зацепление нарезаемого колеса с исходным контуром, которое называется станочным (рис.8.5). Начальная окружность колеса совпадает с делительной. Начальная прямая рейки I касается делительной окружности колеса в полюсе Р. Делительная прямая рейки 2 в общем случае не совпадает с начальной и ее положение определяется смещением xm, где m- модуль, х – коэффициент смещения. Показанное на рис.8.5 смещение считается положительным. Если делительная прямая рейки пересекает делительную окружность колеса, то х < 0. В частном случае, когда делительная и начальная прямые рейки совпадают, то х = 0.

Движения рейки и колеса согласовываются в соответствии с зависимостью V_o= r,

где V₀ - cкорость поступательного движения рейки, - угловая скорость поворота колеса. Точка касания К профиля зуба колеса с исходным контуром лежит на общей нормали к ним, проходящей через полюс. Эта нормаль КN совпадает с касательной к основной окружности и является линией зацепления, представляющей собой геометрическое место точек касания профиля зуба колеса с исходным контуром. По построению, угол PON равен углу профиля исходного контура .

Размеры зуба колеса определяются параметрами исходного контура и его расположением относительно нарезаемого колеса. Толщина зуба колеса s по делительной окружности равна ширине впадины e_wo рейки по начальной прямой. Из рис. 8.5 : s = e_wo= e_o+2xmtg,

или s = m(0,5+2xtg). (8.5)

Ширина впадины по делительной окружности

e = p - s = m(0,5-2xtg. (8.6)

Радиус окружности впадин : r_f = r + xm - (h_ao+ c),

или r_f = m(0,5z - h- c^*+ x). (8.7)

Рис.8.5

Подрезание зубьев.

Обычно переходная кривая I (рис.8.6), формируемая скругленной вершиной исходного контура, плавно сопрягается в точке L с главным эвольвентным профилем 2, образуемым прямолинейным участком исходного контура. Однако, в некоторых случаях переходная кривая 3 пересекает главный профиль. Такое явление называется подрезанием зуба. Подрезание уменьшает эвольвентную часть профиля зуба и его толщину у основания, что отрицательно сказывается на работоспособности колеса. Для выявления условия отсутствия подрезания рассмотрим станочное зацепление в положении, когда формируется точка сопряжения L. При этом граница прямолинейного участка исходного контура располагается на линии зацепления (рис.8.6).

Подрезание отсутствует, если граница активного участка линии зацепления L лежит в пределах теоретической линии зацепления PN. Таким образом, условие отсутствия подрезания можно выразить неравенством

PLPN.

Угол PLQ равен , так как его стороны перпендикулярны сторонам угла PON. Тогда изPLQ: PL = (h_ao - xm)/sin,

а и з PON: PN = rsin.

После подстановки этих выражений в исходное неравенство и выполнения преобразований получим: 2(h-x)zsin² .

Из этого условия можно получить формулу для определения минимального числа зубьев колеса, при котором отсутствует подрезание:

z_min=2(h-x)/sin² .

При х=0 имеем: z_{min o} =2h/sin² . (8.8)

Стандартному исходному контуру соответствует z_{min o}=17.

Из того же условия можно получить формулу для определения минимального коэффициента смещения, при котором отсутствует подрезание:

x_min= h- 0,5z*sin ² ,

или с учетом формулы (8.8)

x_min=h(z_{min o} - z)/z_{min o}. (8.9)

Рис.8.6

Заострение зубьев.

Положительное смещение, применяемое для устранения подрезания при малом числе зубьев колеса, приводит к уменьшению толщины зуба на окружности вершин s_a. Если это уменьшение происходит ниже некоторого предела, снижается прочность вершинной части зуба. Такое явление называется заострением. На практике принимают s_a 0,

Для определения величины s_a рассмотрим рис.8.7 . Точки М, А, A_a эвольвентного профиля, лежащие соответственно на окружностях основной, делительной и вершин, соединим с центром колеса О. Кроме того, из них проведены касательные AN и A_aN_a к основной окружности и точки касания также соединены с центром. При этом образуются следующие углы : половина угловой толщины зуба и на окружностях делительной и вершин, эвольвентный угол и в точках А и A_a, угол профиля и в точках A и A_a.

Исходя из принципа образования эвольвенты, длина касательной к основной окружности равна длине соответствующей дуги этой окружности AN = MN, или r_btg = r_b(.

Отсюда:

Аналогично: = tg -= inv .

Непосредственно из рис.8.7 следует;+.

Учитывая, что s = 2r, s_a = 2r_ay_а , после преобразований получим

s_a = r_a (8.10)

Угол определяется из : (8.11)

Рис.8.7

Лекция №9

Геометрия эвольвентного зацепления.

Рассмотрим общий случай зацепления колес, каждое из которых нарезано с положительным смещением исходного контура. При этом толщина зуба по делительной окружности больше ширины впадины (8.5), (8.6). Поэтому в зацеплении таких колес делительные окружности не соприкасаются (рис.9.1). Радиусы этих окружностей r₁ и r₂. Начальные окружности радиусов r_w1 и r_w2 соприкасаются в полюсе Р. Основные окружности, с которыми связаны эвольвентные профили зубьев, имеют радиусы r_b1 и r_b2. Общая касательная к ним N₁N₂ проходит через полюс Р. Эта линия является общей нормалью к профилям зубьев, соприкасающимся в точке К, и называется линией зацепления. Угол между линией зацепления и общей касательной к начальным окружностям называется углом зацепления.

Соединим точки N₁ и N₂ c центрами колес О₁ и О₂. Полученные углы N₁O₁P и N₂O₂P равны углу зацепления , исходя из перпендикулярности их сторон. Из рассмотрения прямоугольных треугольников O₁N₁P и O₂N₂P следует

r_w1 = , r_w2 = (9.1)