Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. Построение разверток.

Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью в общем случае находят точки пересечения образующих с секущей плоскостью в отношении любых линейчатых поверхностей. При необходимости не исключается применение и вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих поверхность и плоскость.Любую цилиндрическую поверхность плоскость, расположенная параллельно образующей этой поверхности, пересекает по прямым линиям (образующим). Вид линии, образованной при пересечении плоскостью прямого кругового цилиндра, определяется положением плоскости относительно оси.

Пересечение сферы плоскостью Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции

При построении конической поверхности вращения плоскостью получаются различные линии - прямые, замкнутые кривые - окружности и эллипсы, незамкнутые кривые - параболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси.

38) Общий прием построения точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью

В общем случае для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.8.28) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом:

1. Заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ;

1. Строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ;

2. Определяем искомую точку К пересечения линии l и m (точка может быть не единственная).

В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые.

Пример: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.

Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.8.29а) или эллипс (рис.8.29б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.

39)Для определения точек, общих для двух поверхностей, часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей. Секущие поверхности посредники выбираются так, чтобы они пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые или окружности. Иногда применяют и комбинацию вспомогательных секущих плоскостей.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два способа: способ секущих плоскостей, и способ секущих сфер.

Вспомогательные секущие плоскости часто выбирают проецирующими или вращающимися вокруг прямой (собственной или несобственной) Из проецирующих плоскостей чаще используют плоскости уровня – плоскости параллельные плоскостям проекции. Секущие вращающиеся плоскости посредники применяются для построения линии пересечения конических или цилиндрических поверхностей.

Концентрические сферические плоскости посредники применяются при определении пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Эксцентрические конические поверхности применяются при определении точек линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью несущей на себе непрерывное множество окружностей.

Линия пересечения поверхностей имеет ХАРАКТЕРНЫЕ (опорные или главные) точки с которых следует начинать построение этой линии. Они показывают в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для определения остальных точек.

К таким же точкам относят и экстремальные точки – верхняя или нижняя точка относительно той или иной плоскости проекции.

40) Соосные поверхности Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось

Соосные поверхности вращения пересекаются по

Меридианы m и n соосных поверхностей вращения, расположенные в одной осевой плоскости (), пересекаются в некоторых точках (1 и 2 на рис. 4.51, a). Эти точки при вращении меридианов (m и n) описывают окружности (параллели), одновременно принадлежащие каждой из образованных поверхностей вращения и, следовательно, являющиеся линиями их пересечения. Количество окружностей равно числу точек пересечения описывающих эти поверхности меридианов, расположенных в одной осевой плоскости и по одну сторону от оси вращения. Например, соосные поверхности вращения (рис. 4.51. а) пересекаются по двум окружностям, так как их меридианы m и n имеют две общие точки 1 и 2. сли одной из двух соосных поверхностей вращения является сфера (рис. 4.51, в), то центр сферы располагается на оси другой поверхности вращения (сфера имеет бесчисленное множество осей вращения, и все они проходят через ее центр). Сфера с центром в точке O пересечения осей двух поверхностей вращения будет соосна с каждой из этих поверхностей и пересечет их по окружностям l и m и m

41) Внешние и внутренние формы большинства предметов образуются сочетанием нескольких, часто различных по характеру поверхностей. Пересекаясь между собой, они образуют линии, которые принято называть линиями перехода, т.е. линиями, у которых одна поверхность переходит в другую. 

ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (линии перехода)

Линии касания, как правило, на рабочих чертежах не показывают или изображают условно тонкой линией. Линии пересечения (по стандарту – линии перехода), как правило, изображают. При этом у конструкторов может возникнуть необходимость предусмотреть вид получающихся линий и решить, с какой точностью они должны быть построены или же изображены с упрощениями, допускаемыми стандартом. Общий прием построения линий перехода заключается в следующем: пересекающиеся поверхности мысленно рассекаются вспомогательными поверхностями (посредниками), выбираемыми и направленными так, чтобы в сечениях получались известные линии простой формы – прямые, окружности. В качестве посредников обычно используют плоскости, при определенных условиях – сферы, в отдельных случаях другие поверхности.

На рис. 66 показано построение линии перехода пересекающихся цилиндра и конуса.

Проекции точек линии перехода построены тремя способами, используя:

1) параллели конуса (параллель а – точки 2);

2) образующие (образующие SE и SE' – точки 3);

3) вспомогательную секущую сферу ( радиуса R – точки 1).

Определение видимости производится отдельно для каждой проекции. Так, видимость горизонтальной проекции прямой l определяется при помощи горизонтально конкурирующих точек 1 и 3, принадлежащих скрещивающимся прямым l и (AС). Так как точка 1 выше точки 3 (на что указывает расположение их форонтальных проекций), то прямая l расположена под АС. Следовательно, горизонтальная проекция l₁слева от точки К₁ невидима (вычерчивается штриховой линией), а справа от нее видима. Для фронтальной проекции видимость линии пересечения определялась с помощью двух фронтально конкурирующих точек (на чертеже не показано). Рассмотренный алгоритм применим для решения любых задач на пересечение прямой с плоскостью общего положения.

Последовательность соединения отдельных точек линии пересечения поверхностей легко устанавливается по ее дополнительной проекции:

42)Линия пересечения двух цилиндров вращения с пересекающимися осями проецируется на плоскость параллельную их плоскости симметрии в виде равносторонней гиперболы направления асимптот гиперболы не зависит от диаметров цилиндров.

Две цилиндрические поверхности с параллельными осями пересекаются по прямым линиям, соединяющим точки пересечения оснований цилиндров. Две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по прямым линиям, соединяющим вершину и точки пересечения оснований. Соосные поверхности вращения второго порядка пересекаются по окружностям, фронтальная проекция которых является прямыми линиями.

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые – образующими

ТЕОРЕМА МОНЖА

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечения распадаются на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанных около сферы (рис.13), будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми А2В2 и С2D2.

43)Аксонометрические проекции

Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.

Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

Изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой; в этом случае u=υ=ω;

Диметрическими, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей – отличается от первых двух;

Триметрическими, если все три коэффициента искажения по осям различны.

Аксонометрические проекции различаются также и по тому углу φ, который образуется проецирующим лучом с плоскостью проекций. Если φ≠ 90^o, то аксонометрическая проекция называется косоугольной, а если φ= 90^o – прямоугольной.

Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

Изометрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис.1.

Коэффициент искажения по осям x, y, z равен 0.82. (натуральный коэффициент )

Изометрическую проекцию для упрощения, как правило выполняют без искажения по осям x, y, z, т.е. приняв коэффициент искажения равным 1.(приведенный коэфицент)

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.2)

Если аксонометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1,2, 3 равна 1,22, а малая ось - 0.71 диаметра окружности.

Если аксонометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая - 0.58 диаметра окружности.

Диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис.4.

Коэффициент искажения по оси y равен 0.47, а по осям x и z - 0.94.

Диметрическую проекцию, как правило, без искажения по осям x и z и с коэффициентом искажения 0.5 по оси y.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.5).

Если димметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.95, эллипсов 2 и 3 - 0.35 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.9, эллипсов 2 и 3 - 0,33 диаметра окружности.

Косоугольные аксонометрические проекции:

Косоугольная диметрия x=z=1 y=0.5(Кабинетная проекция) (Фронтальная  изометрическая  проекция)

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекции, — в эллипсы (рис. 8).

Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,3, а малая ось — 0,54 диаметра окружности.

Косоугольная изометрия(так же известна как кавелерная переспектива)

X=Z=Y=1 плоские фигуры расположенные параллельно п1 отображаются на данной проекции без искажения.

Угол x и y = 90

Если предмет проецируется на плоскость аксонометрических проекций параллельную горизонтальной плоскости проекций то при виде на предмет сверху получаем проекцию называемую военной(зенитной) если же получается вид снизу, то проекция называется лягушачьей перспективой.