Ответы к экзамену по курсу Инженерная и компьютерная графика.

1. Аппарат проецирования включает проецирующие лучи, плоскость, на которую осуществляется проецирование, и проецируемый объект. Все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки S, называемой центром проекций

Методы проецирования: Центральное(), параллельное(частный случай центрального. определяется положение плоскости и направление проецирования, если прямая параллельна направлению проецирования то она проецируется в точку), Ортогональное.

Ортогональный – прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного проецирования. При котором направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции.

Свойства ортогонального проецирования:

1. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.

2. Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:

Теорема:

 Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

2)Метод параллельного проецирования на 2-е взаимно перпендикулярные плоскости был изложен французским геометром Гаспаром Монжем и назван Эпюрой Монжа П1-горизонтальная П2- фронтальная П3 - профильная

3)Система прямоугольных координат называется еще декартовыми координатами по имени французкого математика декарта. Здесь три взаимно перпендикулярные плоскости называются плоскостями координат. Прямые по которым пересекаются плоскости называются осями координат. можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Координатами точки называются расстояния, отсекаемые линиями связи на осях координат. Три координаты точки задают ее положение в пространстве.

Начало координат О будет перемещаться по биссектрисе угла Х₂₁ОZ₂₃, которую называют постоянной прямой чертежа. Ее можно задать произвольно, либо сначала построить третью проекцию А₃, а затем провести биссектрису угла А₁А₀А₃.

4) Прямые, по которым пересекаются плоскости координат, называются осями координат (X,Y,Z). Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой О. Плоскости координат в своем пересечении образуют 8 трехгранных углов, деля пространство на 8 частей – октантов (от латинского octo – восемь).

Знаки по Номер октанта

осям

координат I II III IV V VI VII VIII

0X + + + + - - - -

0Y + - - + + - - +

0Z + + - - + + - -

Точка общего положения - точка, находящаяся в пространстве октанта.

Точка частного положения - точка, находящаяся либо на оси проекций, либо на плоскости проекций.

Конкурирующие точки - точки, лежащие на одном проецирующем луче. Это значит, что одна из них закрывает другую, две одноименные координаты этих точек равны, а соответствующие проекции этих точек совпадают.

Симметричные точки - точки, расположенные с разных сторон на одинаковом расстоянии от оси проекций. При этом у них различаются знаки соответствующих координат.

Горизонтально конкурирующие точки - точки, расположенные так, что их проекции совпадают (т.е. конкурируют на плоскости Π₁).

Фронтально конкурирующие точки - точки, у которых совпадают проекции на плоскости Π₂.

Профильно конкурирующие точки - точки с конкурирующими проекциями на плоскости Π₃.

Определение видимости конкурирующих точек при проецировании - пространственное представление взаимного расположения конкурирующих точек, а именно: какая из точек находится выше или ближе к наблюдателю; какая из точек при проецировании на соответствующую плоскость 'закроет' другую, конкурирующую с ней, точку, т.е. проекции каких точек окажутся видимыми или невидимыми. Например, у горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота.

Видимость конкурирующих точек на чертеже - условная запись обозначения точек и символа конкурирования на чертеже последовательности проецирования конкурирующих точек на плоскость проекций, когда проекции совпадают. Обозначение видимой проекции ставится на первом месте. Обозначение невидимой - на втором (либо берется в скобки)

5) Проекция прямой линии определяется точками

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В (рисунок 10). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы получим проекции отрезка АВ – фронтальную (А₂В₂) и горизонтальную (А₁В₁). Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей π_1, π₂, π₃, т.е. прямая АВ не параллельна ни одной из них и не перпендикулярна к ним. Такая прямая называется прямой общего положения. Здесь каждая из проекций меньше самого отрезка А₁В₁<АВ, А₂В₂<АВ, А₃В₃<АВ.

Прямая линия может занимать относительно плоскостей особые (частные) положения. Рассмотрим их.

Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

1. Прямая параллельна плоскости π₁ (рисунок 11). В этом случае фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции, а горизонтальная проекция равна самому отрезку (А₂В₂║ОХ, А₁В₁=│АВ│). Такая прямая называется горизонтальной и обозначается буквой “h”.

2. Прямая параллельна плоскости π₂ (рисунок 12). В этом случае ее горизонтальная проекция параллельна оси проекции (С₁D₁║ОХ), а фронтальная проекция равна самому отрезку (С₂D₂=│CD│). Такая прямая называется фронтальной и обозначается буквой “f”.

3. Прямая параллельна плоскости π₃ (рисунок 13). В этом случае горизонтальная и фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции ОХ, а ее профильная проекция равна самому отрезку, т.е. Е₁К_1┴ОХ, Е₂К_2┴ОХ, Е₃К_3┴ЕК. Такая прямая называется профильной и обозначается буквой “p”.

  Прямые уровня, параллельные двум плоскостям проекций, будут перпендикулярны третьей плоскости проекций. Такие прямые называют проецирующими. Различают три основные проецирующие прямые: горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые.

. 4. Прямая параллельна двум плоскостям – π₁ и π₂. Тогда она будет перпендикулярна плоскости π₃ (рисунок 14). Проекция прямой на плоскости π₃ представит собой точку (А₃≡В₃), а проекции на плоскостях π₁ и π₂ будут параллельны оси ОХ (А₁В₁║ОХ, А₂В₂║ОХ).

Рисунок 13

5. Прямая параллельна плоскостям π₁ и π₃, т.е. она перпендикулярна плоскости π₂ (рисунок 15). Проекция прямой на плоскости π₂ представит собой точку (С₂≡D₂), а проекции на плоскостях π₁ и π₃ будут параллельны осям У и У, т.е. перпендикулярны осям Х и Z, (C₁D_1┴OX, C₃D_3┴Z).

6. Прямая параллельна плоскостям π₂ и π₃, т.е. она перпендикулярна плоскости π₁ (рисунок 16). Здесь проекция прямой на плоскости π₁ представит собой точку (Е₁≡К₁), а проекции на плоскостях π₂ и π₃ будут перпендикулярны оси ОХ и ОУ соответственно (Е₂К_2┴ОХ, Е₃К_3┴ОУ).

Горизонталь равна отрезку – фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции

Фронталь равна отрезку - горизонтальная проекция параллельна оси проекции

Истинная величина тогда когда прямая параллельна плоскости.

Теорема Фалеса — одна из теорем планиметрии.

Формулировка теоремы:

Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой другой секущей также равные отрезки.

Согласно теореме Фалеса (см. рисунок), если A₁A₂ = A₂A₃, то B₁B₂ = B₂B₃.

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

Если точка принадлежит некоторой прямой, то проекции этой точки лежат на соответствующих проекциях прямой. Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рисунок 17). Так как прямые АА₁, СС₁, ВВ₁ параллельны между собой, то .

Это вытекает из теоремы Фаллеса

Так как отношение отрезков прямой линии равно

отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок

прямой на эпюре – значит разделить в том же отношении любую его

проекцию.

6) Следами прямой линии называются

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой (рисунок 19). Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М₁) совпадает с самим следом, а фронтальная проекция этого следа М₂ лежит на оси проекции Х. Фронтальная проекция фронтального следа N₂ совпадает со следом N, а горизонтальная его проекция N₁ лежит на той же оси проекции Х. Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо продолжить фронтальную проекцию А₂В₂ до пересечения с осью Х и через точку М₂ провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А₁В₁. Точка М≡М₁ – горизонтальный след прямой АВ. Аналогично находим фронтальный след N≡N₂.

Прямая не имеет следа на плоскости проекции в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

7)На горизонтальной проекции А1В1 как на катете строим прямоугольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекции. На чертеже эта разность определяется величиной zb-za / В результате получаем прямоугольный треугольник где гипотенуза равна длине отрезка АВ а угол между ней и большим катетом – угол наклонна данного отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекции

8)Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Если две прямые в пространстве параллельны между собой, то их проекции на плоскости также параллельны между собой (рисунок 20). Обратное утверждение не всегда верно . Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых

Прямые параллельны, если: точки пересечения проекция прямых линий, соединяющих концы данных отрезков, являются проекциями точка пересечения этих прямых линий.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой

Как видно из данного рисунка, точка с проекциями К₂ и К₁ принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежит прямой СD. Эти точки одинаково удалены от плоскости π₂, но расстояния их от плоскости π₁ различны: точка L расположена выше, чем точка К.

9) Признаки перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей рассматриваются в стереометрии. Напомним некоторые из них: 1) две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o; 2) если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, принадлежащих плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны; 3)если прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей этой плоскости 4) если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости

10) Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости. При этом вторая проекция угла вырождается в прямую линию, перпендикулярную линиям связи. Кроме того, прямой угол проецируется в истинную величину еще и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Теорема 1. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего положения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.

Если ни одна из сторон не параллельна плоскости проекции Прямой угол DВС на плоскость П₂ проецируется в искаженную величину

Если плоскость γ, в которой расположен некоторый угол АВС, перпендикулярна к плоскости проекции (π₁), то он проецируется на эту плоскость проекции в виде прямой линии

2. Если проекция угла представляет угол 90⁰, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.26).

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу. 

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением

Если угол не прямой и одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проецируется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол - в виде тупого угла большей величины.

11) Плоскость на чертеже может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой

б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой

в) проекциями двух пресекающихся прямых

г) проекциями двух параллельных прямых

д) проекциями любой плоской фигуры – треугольником, многоугольником, кругом и т.д.

е) более наглядно плоскость может быть изображена при помощи следов – линий пересечения ее с плоскостями проекций

Если плоскость не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения.

Если плоскость параллельна плоскости π₁, то такая плоскость называется горизонтальной.

Если плоскость параллельна плоскости π₂, то такая плоскость называется фронтальной

Если плоскость параллельна плоскости π₃ , то такая плоскость называется профильной плоскостью

Если плоскость перпендикулярна плоскости π₁ (но не параллельна плоскости π₂), то такая плоскость называется горизонтально-проецирующей

Если плоскость перпендикулярна плоскости π₂ (но не параллельна плоскости π₁), то такая плоскость называется фронтально-проецирующей

Если плоскость перпендикулярна плоскости π₃ (но не перпендикулярна плоскостям π₁ и π₂), то такая плоскость называется профильно-проецирующей

Линию пересечения плоскости с плоскостью проекций называют следом

12-13) Проверка принадлежности точки плоскости.

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так на рис. 3.14 плоскость Q задана проекциями а₁b₁, а₂b₂ и c₁ d₁, c₂ d₂ параллельных прямых, точка - проекциями e₁, e₂. Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из плоскостей точки. Например, фронтальная проекция 1₂2₂ вспомогательной прямой проходит через проекцию e₂.Построив горизонтальную проекцию 1₁2₁ вспомогательной прямой , видно, что точка Е не принадлежит плоскости Q.

Проведение любой прямой в плоскости.

Для этого достаточно (рис.3.10) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например а₁ ,а₂ и 1₁, 1₂, и через них провести проекции а₁1₁, а₂1₂ прямой А-1. На рис. 3.11 проекции b₁1₁, b₂1₂ прямой B-1проведены параллельно проекциям а₂с₂, а₁с₁ стороны АС треугольника, заданного проекциями а₁b₁c₁, а₂b₂c₂. Прямая B-1принадлежит плоскости треугольника ABC.

Построение в плоскости некоторой точки.

Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже(рис.3.12) плоскости, заданной проекциями а₁ ,а₂ точки, b₁c₁, b₂c₂ прямой, проведены проекции а₁1₁, а₂1₂ вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d₁, d₂ точки D, принадлежащей плоскости.

Построение в плоскости некоторой точки.

Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже(рис.3.12) плоскости, заданной проекциями а₁ ,а₂ точки, b₁c₁, b₂c₂ прямой, проведены проекции а₁1₁, а₂1₂ вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d₁, d₂ точки D, принадлежащей плоскости.

Построение недостающей проекции точки.

На рис.3.13 плоскость задана проекциями а₁b₁c₁, а₂b₂c₂ треугольника. Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d₂ . Следует достроить горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Для этого проводят, например, фронтальную проекцию b₂1₂d₂ прямой, строят ее горизонтальную проекцию b₁1₁ и на ней отмечают горизонтальную проекцию d₁ точки.

14)Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга (см пункт 5)

15) Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Алгоритм построения точки пересечения:

1. Например на П₁ проведем через заданную прямую а₁ вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость _: а  и  П₁.

2. Построим m₁ - линию пересечения вспомогательной плоскости _ с заданной плоскостью _. Отметим точки 1₁ и 2₁ - точки пересечения прямой m₁ и отрезков А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

3. Построим фронтальную проекцию прямой m, учитывая принадлежность точек 1 и 2 сторонам треугольника АВС.

4. Находим точку К₂ - точку пересечения прямых m₂ и а₂: К₂=m₂ а₂.

5. По линии связи находим первую проекцию точки К - точку К₁.

Определяем видимость прямой а с помощью метода конкурирующих точек.( Точки, у которых проекции на П₁ совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П₁, а точки, у которых проекции на П₂ совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П₂.)

16)   Прямая линия перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым этой плоскости. Две плоскости взаимно перпендикулярны если одна из плоскостей имеет прямую линию перпендикулярную этой плоскости

Чтобы построить в проекциях прямую перпендикулярную плоскости необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла.

Прямая линия перпендикулярна плоскости если ее проекции перпендикулярны одноименным проекциям направлений горозинтали и фронтали плоскости

Взвимная перпендикулярность двух прямых