Тема 1.3. Основы статистической теории акустики

1. Модель идеального помещения с изотропным звуковым полем Средняя длина пробега луча

Рассмотрим процессы, происходящие в помещении при звучании источника (И) (рис. 15).

В точку приема Пр, где находятся уши слушателя или микрофон, первым приходит прямой звук от источника И по пути 1, затем – звуки по пути 2, отраженные от ближайших к источнику поверхностей, далее – звуки по пути 3, отраженные от удаленных поверхностей., последними приходят звуки по пути 4, претерпевшие двукратные отражения, и т. д. Количество отражений в единицу времени возрастает пропорционально второй степени времени:

,

и помещение постепенно заполняется звуковой энергией.

Среднюю длину свободного пробега звукового луча между двумя последовательными отражениями определяют с помощью статистической теории. В её основе лежит модель идеального помещения с изотропным звуковым полем, предложенная У. Сэбином. Предполагается, что амплитуды и фазы отраженных звуковых волн распределены хаотически. Это означает, что равновероятны направления волн и значения их амплитуд. Поэтому средние значения звуковой энергии одинаковые и средняя по времени плотность потока звуковой энергии в различных направлениях одна и та же. Такое звуковое поле называют изотропным. Оно подобно представлению о газе в кинетической теории вещества, поэтому иначе называется диффузным звуковым полем. В диффузном звуковом поле можно пренебречь интерференцией звука. Л. Бреховских доказал, что применять модель диффузного звукового поля можно для помещений, линейные размеры которых велики по сравнению с длиной волны:

,

где a – длина, b – ширина, h – высота помещения.

Методами математической статистики и теории вероятности в диффузном поле определяют среднюю длину пробега () звукового луча между двумя отражениями по формуле:

, (61)

где V – объём помещения, S - общая площадь всех ограничивающих поверхностей (пола, потолка, стен).

Формула (59) наиболее хорошо подходит для случая, когда помещение имеет форму прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами, близкими к "золотому сечению", т. е. соотношение между длиной. шириной и высотой равно

, (62)

или (по другому определению)

(62*)

Примеры:

1. В помещении с размерами

и площадью всех преград

средняя длина свободного пробега звукового луча равна

.

2. Для зала с линейными размерами

и площадью всех преград

средняя длина свободного пробега звукового луча равна

.

2. В комнате с размерами

и площадью преград

средняя длина свободного пробега звукового луча равна

.

2. Определение времени реверберации звука

В архитектурной акустике большее внимание уделяется переходному нестационарному процессу после прекращения после прекращения действия источника звука. Этот процесс состоит в постепенном ослаблении звука вследствие потерь звуковой энергии. У. Сэбин назвал его реверберацией (reverberation), что в переводе означает "отражение", "отзвук", "отголосок", "отклик". При каждом отражении часть падающей энергии поглощается преградами и превращается в тепло.

Процесс отзвука происходит в той же последовательности, как и при начале звучания:

- сначала в точку приёма (Пр) приходят сравнительно редкие начальные отражения,

- затем плотность запаздывающих импульсов увеличивается, а их энергия постепенно уменьшается (рис. 17).

Метод, предложенный У. Сэбином для изучения затухания звука, основан на статистической модели идеального помещения с изотропным (диффузным) звуковым полем. Прямой звук и начальные сравнительно редкие отражения не рассматриваются, а изучается только отзвук.

В статистической теории отзвук рассматривается как затухание (т. е. постепенное уменьшение энергии) последовательного ряда звуковых импульсов, которые многократно отражаются преградами помещения после прекращения действия источника звукаа. Подразумевается, что форма импульсов, следовательно, и их спектр, заданные источником звука, при отражениях остаются неизменными.

Идеализируя, считают этот процесс в первом приближении непрерывным. Тогда его можно изобразить в линейном масштабе экспонентой (рис. 18), а в полулогарифмическом масштабе – прямой (рис. 19). Предпосылкой к такому рассмотрению является выполнение условия диффузности (изотропности) звукового поля.:

Реверберация существенно влияет на качество речевого звучания:

- чрезмерная длительность реверберации (T велико) приводит к тому, что новые слоги речи звучат на фоне предыдущих затухающих слогов, и речь становится неразборчивой;

- при коротком отзвуке (T мало) разборчивость речи вполне удовлетворительна, но отрывистой; своеобразная "безжизненность", "стерильность" такого звучания воспринимается так же, как недостаток, особенно при художественном чтении.

Еще большее значение имеет процесс отзвука при слушании музыки, поскольку каждая музыкальная фраза представляет собой последовательность звуковых импульсов:

- затянутый отзвук (T велико) нарушает эстетичность восприятия музыки тем сильнее, чем быстрее темп исполнения, т. к. звуки "набегают" друг на друга;

- при очень коротком отзвуке (T мало) или его отсутствии (при исполнении на открытом воздухе) музыка звучит "сухо", т. е. утрачивается слитность звучания.

Лишь при некотором, вполне определенном для каждого стиля исполнения времени отзвука образуется необходимая связность звучания, создающая наилучший эстетический результат.

Критерии определения времени реверберации

Длительность процесса реверберации называют временем реверберации (T). В течение этого энергия звука энергии уменьшается в 10⁶ раз

,

звуковое давление уменьшается в 10³

,

а уровень звукового давления уменьшается на 60 дБ (см. форм. (57), (58))

Пример:

Фортиссимо оркестра соответствует уровень звукового давления (см. форм. (58) или (60))

,

а пианиссимо –

.

Среднее значение уровня звукового давления между этими крайними значениями равно

Из кривых чувствительности видно, что значения, близкие к 60 дБ, соответствует уменьшению уровня звукового давления до уровня порога слышимости (см. рис. 14):

Следовательно, время реверберации приблизительно соответствует длительности уменьшения звукового давления от среднего значения уровня звукового давления до уровня порога слышимости

.

Если в помещении есть шумы, то слышимый отзвук будет длиться меньше времени реверберации:

.

Обычно шум уровень шума относительно порогового составляет 40 дБ. Это приводит к тому, что время отзвука уменьшается более чем в 2 раза:

.

Далее рассмотрим формулы для вычисления времени реверберации без учёта шумов.

Формула Сэбина

Для экспериментального определения времени реверберации Сэбин пользовался простейшими приспособлениями: органными трубами как источником звука и секундомером. Оказалось, что время реверберации (Т) прямо пропорционально объему помещения V и обратно пропорционально произведению среднего коэффициента поглощения _ср и площади всех преград S:

. (70)

Эта формула получила название формула Сэбина.

Коэффициент пропорциональности k имеет единицу измерения, равную

По измерениям времени реверберации в пяти различных помещениях в форме прямоугольного параллелепипеда, объёмы которых имели значение

Сэбин принял экспериментальное значение коэффициента k в формуле (70), равным

.

При теоретическом выводе формулы для расчёта времени реверберации было получено значение

.

Оба значения близки к числу

.

С помощью формулы Сэбина можно решить обратную задачу: вычислить определить коэффициент поглощения_ср (или звукопоглощение А) некоторого материала по измеренному времени реверберации T в поглощения в "гулкой" реверберационной камере объёмом V. Пусть время реверберации звука в пустой камеры через T₀. Тогда после внесения в камеру исследуемого материала с площадью S время реверберации уменьшается до T. Следовательно:

.

Если же площадь исследуемого предмета не может быть выражена определенным числом, то находят звукопоглощение поглощение предмета по формуле

.

Область применения формулы Сэбина:

1. Формула Сэбина получена выведена для идеального помещения, в котором существует диффузное, равномерное распределение звуковой энергии по пространству помещения. Поэтому следует подставлять значения коэффициента поглощения , определенные в диффузном поле реверберационной камеры.

2. Формула Сэбина получена в предположении, что волны падают на преграды под любыми углами.

3. Формула Сэбина может быть применена, если звукопоглощающие материалы распределены по ограждающим помещение поверхностям достаточно равномерно и можно пользоваться понятием среднего коэффициента поглощения.

4. Формула Сэбина основана на предположении о непрерывном поглощении энергии преградами в процессе реверберации. В этом случае значение среднего коэффициента поглощения звука преградами мало .

5. Количество отражений достаточно велико (см. рис. 17) и можно пренебречь дискретностью процесса уменьшения энергии волн, отражённых от препятствий (см. рис.18 и рис.19).

6. Формула Сэбина не учитывает зависимость времени реверберации T и коэффициента k от формы помещения.

7. Эксперимент показал, что формулу Сэбина можно применять для театральных и концертных залов, учебных аудиторий и других помещений с небольшим _ср.

Формула Эйринга

Экспериментально обнаружено, что k различно для помещений разной формы. Измеренные значения k приведены в таблице 8.

Таблица 8

Форма помещения	k, с/м
Крестообразная в плане, с куполообразным потолком	0,177
Близкая к "золотому сечению"	0,164
Трапециевидная в плане (театрального типа)	0,160
Кубической формы	0,157
Очень широкая в плане, с низким потолком	0,152

Зависимость k от формы помещения соответствует тому, что форма помещения влияет на значение времени реверберации. Причина этого обусловлена зависимостью времени реверберации Т от средней длины пробега звукового луча между двумя отражениями l_cр ,которая, в свою очередь, определяется соотношениями линейных размеров помещения.

Кроме того, звуковая энергия поглощается преградами не непрерывно, а скачками, по мере достижения волной той или иной поверхности. Поэтому равномерного заполнения энергией всего объема помещения нет, т. е. в реальном помещении нет диффузного (изотропного) звукового поля.

Поэтому более точные исследования реверберации, проведённые в 1929 г. Шустером и Ветцманом, а в 1930 г. - Карлом Эйрингом, привели к следующей формуле для времени реверберации, названной формулой Эйринга:

. (71)

Если разложить выражение ln(1-_ср ) в ряд и оставить в нём из-за малости _ср только первое слагаемое

,

то при малых значениях _ср формула Эйринга переходит в формулу Сэбина:

Отсюда видно, что знак минус введен в формуле (71) введён для того, чтобы исключить физически невозможные отрицательные значения Т. При этом всё выражение, стоящее в знаменателе формулы Эйринга (71), является эквивалентом общего поглощения в формуле Сэбина (70):

.

Сравнивая формулы Сэбина (70) и Эйринга (71), получим, что приближение Сэбина завышает значение T. Расхождение увеличивается с возрастанием _ср (табл.9):

Таблица 9

ср	0,2	0,5	0,8
Завышение Т, %	11	37	100

При значении

вместо реального результата

получается физически нереальный результат:

,

Таким образом, формулу Сэбина можно применять при малых значениях _ср, а формулу Эйринга – при любых _ср.

Пример: Для оптимизации акустических условий в концертных залах рекомендуется

_ср = 0,19.

Поэтому допустимо рассчитывать время реверберации по формуле Сэбина.

Область применения формулы Эйринга:

1. Формула Эйринга выведена для помещения с неравномерным звуковым полем, в котором звуковая энергия поглощается преградами скачкообразно. Поэтому следует подставлять значения коэффициента поглощения , измеренные в плоском поле, т. е. в трубе.

2. Формула Эйринга получена в предположении, что волны падают на преграды под углами, близкими к нормали.

3. Формула Эйринга может быть применена, если звукопоглощающие материалы распределены по ограждающим помещение поверхностям достаточно равномерно и можно пользоваться понятием среднего коэффициента поглощения.

4. Формула Эйринга учитывает зависимость времени реверберации T и коэффициента k от формы помещения.

5. Формула Эйринга основана на предположении о дискретном поглощении энергии преградами в процессе реверберации (см. рис. 18 и 19). В этом случае количество отражений мало, а значение среднего коэффициента поглощения звука преградами не слишком мало

.

6. Формула Эйринга допускает, что число отражений от разных поверхностей с площадями S₁, S₂,... одинаково.

7. Формулу Эйринга можно применять как для помещений с небольшим _ср (театральные и концертные залы, учебные аудитории), так и для помещений со сравнительно большим значением _ср (студии звукозаписи, комнаты).

Формула Миллингтона

При очень неравномерном распределении общего поглощения результат, вычисленный по формуле Эйринга, может оказаться далеким от измеренного. Миллингтон объяснил причину этого расхождения тем, что в действительности вероятность числа отражений от данной поверхности тем больше, чем больше сама поверхность. На основании этих соображений Миллингтон вывел формулу для расчета времени реверберации в виде

(72)

где S_i - площадь материалов с коэффициентами поглощения _i , n – количество поглощающих материалов.

Область применения формулы Миллингтона:

1. Недостаток формулы Миллингтона заключается в следующем: вычисленное значение времени реверберации получается равным нулю, если хотя бы один элемент преграды, как бы он ни был мал, имеет

.

Поэтому следует считать, что ни один коэффициент поглощения звука преградами не равен единице.

2. Формулу Миллингтона можно применять для помещений с любым значением _ср (кроме _ср = 1).

3. Формула Миллингтона справедлива в случае, когда материалы ограждающих поверхностей имеют сильно различающиеся _i , при этом сами материалы распределены по поверхностям неравномерно.