Методы самоконтроля

1. Прикидки.

Большую пользу, причем не только для самоконтроля, приносят разного рода прикидки, которые могут быть направлены как на получение предварительных сведений о самом решении, так и на упрощение уравнений задачи – что, впрочем, взаимосвязано. Для первого полезно неформальное обсуждение условий задачи, по возможности ясное представление картины изучаемого процесса, привлечение физических соображений, интуиции, аналогий с ранее изученными случаями и т. п. Эту прикидку можно получить и с помощью максимально возможного упрощения геометрических форм и уравнений задачи. Знание, хотя бы самое грубое, качественных и количественных характеристик искомого решения может помочь при выборе более точного метода – в частности, при выборе нулевого приближения в итерационных методах, дает возможность указать характерные значения участвующих величин, а в ряде случаев и упростить уравнения задачи. Сравнение свойств решения, полученного более точными методами, с предварительными сведениями о нем дает дополнительное средство контроля, так как соответствие этих данных значительно повышает доверие к результатам. Существенное рассогласование между этими данными свидетельствует об ошибочности либо одних, либо других (а может быть, и тех и других); в этом случае нужны проверка и обсуждение всех данных. Такое обсуждение полезно и для развития интуиции в области, к которой относится решаемая задача.

Как было сказано только что, с помощью прикидок мы можем получить характерные значения участвующих величин и перейти к безразмерной форме уравнений задачи. Это дает возможность прикинуть величину отдельных членов уравнения и сравнительно малые члены либо отбросить, либо упростить, либо учесть с помощью метода малого параметра. После решения упрощенного таким образом уравнения можно путем подстановки проверить, в самом ли деле относительно малы отброшенные члены.

Прикидки систематически проводятся и для текущего контроля вычисления арифметических и более сложных выражений, интегралов и т. п., особенно в случаях, когда есть опасность ошибиться в порядке величины (неправильно написать показатель степени у десятки). Приведем типичные примеры:

(более точное значение );

(более точное значение 0,988);

(более точное значение 0,584).

2. Контроль размерностей.

Этот простой, но важный тест состоит из трех правил:

1. складывать друг с другом и связывать неравенствами можно только величины одинаковой размерности;

2. если размерность какой-либо величины, представленной некоторой формулой, известна заранее, то эта размерность должна вытекать и из данной формулы;

3. аргумент трансцендентной (т. е. неалгебраической) функции должен быть безразмерным, т. е. числом (в частности, безразмерным должен быть и аргумент тригонометрических функций в соответствии с правилом: sin (угла в храдиан) = sin (числаx)).

Пусть, например, величины a,bимеют размерность длины. Тогда, если в процессе выкладок получилось выражениеили, или просто, то это свидетельствует о допущенной ошибке, так как нарушено первое правило. Аналогично, если получилось выражение для площади, то нарушено второе правило. Так как ошибку желательно обнаружить по возможности раньше, описанную проверку следует проводить не только по окончании вывода того или иного соотношения, но и на промежуточных стадиях этого вывода.

Отметим, что если в предыдущем примере a,bпредставляют собой значения безразмерной длины, т, е. численные значения длины, выраженные через определенную единицу измерения, то все выписанные выражения возможны (конечно, тогда подSпонимается безразмерная площадь). Для безразмерных величин правила контроля размерностей не действуют.