№5,6,7,15,16 / 16. Распространенные ошибки при построении математических моделей

Распространенные ошибки при построении математических моделей

1. Ошибки в выборе модели.

Эти ошибки могут происходить от разнообразных причин. Самой очевидной является непонимание ситуации, приводящее к выбору неадекватных гипотез. Яркий пример привел английский астроном А. Эддингтон: рыбак, который ловил рыбу только одной сетью, решил, разглядывая свои уловы, что наименьшие среди пойманных рыб – это самые маленькие рыбы в море; он допустил грубую ошибку, не учитывая важную особенность ситуации – определенный размер ячеек сети.

Сходный характер имеют случаи, когда не учитывается влияние факторов, которые по тем или иным причинам (например, из-за относительной малости характеризующих их параметров) считаются второстепенными, но на самом деле являются существенными, иногда даже определяющими для изучаемого свойства. Так, расчет так называемых статически неопределимых систем (например, балки, лежащей на трех жестких опорах) был невозможен, пока не поняли, что математическая модель такой системы должна существенно учитывать возникающие в ней малые деформации.

Модель может оказаться неадекватной также из-за того, что при ее построении была применена схема (круг представлений, понятия и их связи), разработанная и адекватная для иной области явлений, к которой изучаемое явление не относится; гипотезы, на которые опирается модель, могут в изучаемой ситуации быть необоснованными или даже несправедливыми.

Конечно, всякое сколько-нибудь существенно новое исследование требует выхода за рамки уже испытанной области и это влечет за собой некоторую возможность ошибки; разумный риск здесь необходим. Однако, как мы уже говорили, нужно стараться видеть слабые места в рассуждении, чтобы в случае необходимости произвести соответствующие коррективы или даже полностью изменить модель.

Неадекватность, особенно количественная, математической модели может проистекать также от чрезмерных, выходящих за допустимые рамки упрощений моделируемого объекта – упрощений геометрических форм, исходных зависимостей одних величин от других (или даже замены неизвестных зависимостей на придуманные) и т. п. Трудность состоит в том, что упрощения необходимы, но допустимо ли то или иное конкретное упрощение, заранее далеко не всегда бывает ясно.

2. Влияние интерполяции и экстраполяции.

При построении и исследовании математических моделей нам постоянно приходится пользоваться различными зависимостями между величинами – как исходными, в том числе эмпирическими зависимостями, так и получающимися в процессе исследования. При этом широко применяются интерполяция и экстраполяция, которые могут как существенно помочь исследованию, так и оказаться источником ошибок.

Самые грубые задачи интерполяции возникают при подборе эмпирической формулы по данным измерения. Здесь надо предостеречь от формального, слепого подбора такой формулы только по измеренным значениям. Выбор вида формулы (многочлен, степенная функция, экспонента и т. д.) должен опираться на теоретическое обсуждение различных свойств изучаемой зависимости. После этого выбора параметры, входящие в формулу, можно найти по методу наименьших квадратов или как-либо иначе. При этом применяемый метод должен быть устойчивым относительно возможных ошибок измерения.

Специального внимания требуют возможные особенности изучаемой зависимости – разрывы, острые экстремумы и т. п., которые могут оказаться определяющими, тогда как при «слепом» интерполировании их можно не заметить. Это также делает существенным предварительный или попутный теоретический неформальный анализ реальной зависимости, Он часто дает возможность предвидеть появление подобных особенностей и так направить подбор эмпирических данных и интерполяционной формулы, чтобы получить правильное описание этой зависимости. Отметим, что во многих задачах оказывается удобным использовать в качестве интерполирующих функции, заданные не единой формулой, а двумя или несколькими формулами, действующими на различных интервалах изменения независимой переменной. Такой характер имеет, в частности, широко распространившееся в последние годы интерполирование с помощью сплайнов.

Если при интерполяции обсуждение реального смысла исследуемой зависимости во многих случаях весьма полезно, то при экстраполяции такое обсуждение всегда является центральным, решающим элементом процедуры. Мы уже говорили, что интерполяцию одной и той же зависимости можно осуществить различными формулами. Но даже если эти формулы на интервале интерполирования дают близкие значения, то при удалении от него они могут приводить к принципиально различным результатам. Необоснованное распространение формул с исходного на существенно более широкие интервалы может приводить к вопиющим ошибкам, чему имеется много примеров. Особенно распространена формальная экстраполяция с помощью линейной функции или экспоненты, в основе чего лежит представление (не всегда явно высказываемое!) о неизменности тех или иных решающих факторов.

Таким образом, построение экстраполяционной формулы или дифференциального уравнения, решение которого должно экстраполировать исследуемую зависимость на сколько-нибудь значительное удаление от уже изученного интервала, возможно только при глубоком анализе влияния существенных факторов, их взаимодействия, усиления или ослабления при отходе от этого интервала и т. п.

3. Ошибки в выборе метода исследования.

Одна из распространенных ошибок состоит в недостаточной целеустремленности исследования. Это касается как случаев, когда исследователь не представляет себе четко, что он собирается

искать, так и случаев, когда такое представление имеется, но движение к цели происходит по слишком извилистому пути и при этом добывается слишком много по существу ненужной информации. Конечно, при решении любой сколько-нибудь сложной задачи получение избыточной информации неизбежно. Но разным методам свойственно порождать различные объемы такой информации, и это надо учитывать при выборе метода. Еще Лаплас сказал: чтобы выяснить, что после дождя трава будет мокрой, нет надобности вычислять траектории всех капель...

Для уменьшения объема избыточной информации часто бывает полезным по возможности прямое изучение интегральных характеристик рассматриваемой системы и применение различных интегральных соотношений – таких, как закон сохранения энергии и т. п. В этом смысле поучительны общие теоремы динамики механической системы; например, теорема о движении центра инерции не позволяет описать движение каждой из точек системы, но дает возможность получить интегральное представление о движении, во многих случаях достаточное для приложений.

В качестве другой распространенной ошибки укажем на недостаточное внимание к доброкачественности исходных данных. Большой труд, потраченный на реализацию самого точного численного метода, будет в значительной мере обесценен, если воспользоваться неверными или чересчур неточными исходными данными. Более того, если не обратить внимания на недостоверность этих данных, то можно сделать неверное представление о доброкачественности окончательного вывода, причем соблазн поверить в такой вывод будет тем большим, чем более трудной была математическая задача. Когда же недоброкачественность результата будет обнаружена, весь метод может оказаться незаслуженно опороченным. Поэтому выбираемый метод решения задачи должен быть рассчитан на введение в него только таких данных, которые можно реально получить с требуемой достоверностью. Если достаточно точные исходные данные получить не представляется возможным, то во многих случаях бывает целесообразно изменить метод – обычно упростив его, чтобы труд, связанный с применением метода высокой точности, не оказался напрасным.

Печальную роль может сыграть ошибка в выборе вычислительного алгоритма. Метод, корректный в «домашинном» понимании, может оказаться неустойчивым относительно ошибок округления, что довольно часто бывает при решении краевых задач на ЭВМ. Это может привести даже к неправильным выводам о свойствах моделируемого объекта, так как чисто вычислительный эффект можно принять за физический.