2. . Функция полезности при наличии риска

Выше было сказано, что одним из важнейших факторов, учитываемых в процессе принятия решения, являются финансовые затраты. Выберем их в качестве показателя некоторой системы и сформулируем задачу выбора следующим образом:

необходимо определить программу действий при наличии риска в расходовании средств, который обусловлен возможностью получения нескольких результатов при осуществлении принятого решения.

Пусть возможный диапазон затрат на осуществление программы составляет 210⁷ - 310⁷ рублей. Если целью использования является выбор программы с минимальными затратами, то наиболее желательному случаю будут соответствовать затраты, составляющие 210⁷ рублей, а наименее желательному -310⁷ рублей. Здесь мы поступаем так же, как и при формировании функции полезности, или целевой функции в условиях определенности. Принимаем полезность при затратах 210⁷ – u₂ = 1, а полезность при 310⁷ – u₂ = 0.

Чтобы определить полезность решения для промежуточных затрат, используем следующий постулат:

если результат R_i имеет осуществления p_i, то полезность решения при наличии риска определяется средним значением полезности (математическим ожиданием):

, (1)

где u_i – полезность результата R_i.

Рассмотрим ситуацию, когда надо выбрать из двух событий (это может быть, например, выбор между вариантами страховки или программами развития района), каждое из которых может привести к тем или иным затратам, величина которых носит вероятностный характер:

и .

Если группа лиц с общими интересами не отдает предпочтения ни одному из двух событий, то это означает, что (u₁) = (u₂) , где (u₁) - средняя полезность события 1, а (u₂) - средняя полезность результата 2.

Из этого условия можно определить полезность каждого из возможных результатов R_i. Пусть, например, событие 1 представляет собой затраты либо в сумме 210⁷ руб. с вероятностью р, либо в сумме 310⁷ с вероятностью 1-р. Тогда

(u₁) = pu₂ + (1-p)u₂ (2)

Так как = 1 и = 0, получим (u₁) = р.

Пусть событие 2 представляет собой затраты в 2,710⁷ руб. с вероятностью 1, то

(u₂) = 2,710⁷.

Условие отсутствия предпочтительности при выборе между событиями 1 и 2 записывается как (u₁) = (u₂), тогда получим, что u_8,5 = р.

Из этого следует, что если можно найти такое значение р, при котором группа с общими интересами не отдает предпочтения ни одному из событий 1 или 2, то можно сказать, что полезность затрат в 2,710⁷ равна р.

Рис.2. Кривые полезности, характеризующие различное отношение к5 риску консервативного руководителя (1) и руководителя, склонного к риску (2).

Рис.1. Зависимость полезности от расходов для групп лиц, не склонных к риску (А), и для группы лиц, безразличной к риску (В).

Однако соответствующая шкала фактической стоимости реализации программы не обязательно будет прямо пропорциональна расходам.

Предположим, например, что принятое решение с одинаковой 50-%-й вероятностью может потребовать затрат в 210⁷ руб. и в 310⁷ руб. Если средние значения полезностей двух решений равны и, следовательно, эти решения эквивалентны, то при линейной зависимости между полезностью и затратами приемлемое решение было бы связано с определенной суммой затрат равной 2,510⁷ руб., которая реализуется с вероятностью, равной 1. Однако, чтобы избежать максимальных затрат в сумме 310⁷ руб., вероятность которых составляет 50%, некоторая группа лиц с общими интересами, скорее согласится на строго установленные затраты в 2,710⁷ руб. Это характерно для лиц, не желающих рисковать и готовых уплатить несколько больше, чем приемлемо для всей группы, чтобы избежать более нежелательного исхода. При этом полезность u_2,7 оценивалась бы как 0,5, поскольку

(u) =0,5u₂ +0,5u₃ = 0,5 (1) + 0,5 (0) = 0,5 = u_2,8.

На рис.1 показаны кривые полезностей, отражающие разное отношение людей к риску. (Знак минус перед числами означает, что рассматриваются затраты, а не прибыль). Промежуточные точки кривой А можно рассчитать тем же методом, который использовался для оценки u_2,7, т.е. путем приравнивания средних значений (u) для случая известных значений полезностей и случая известного результата при неизвестном значении полезности. Лицо, которое избегает риска, потребовало бы «разницу» возможных полезностей в свою пользу, и поэтому рискованной ситуации предпочитает вполне определенную (кривая А). Кривая В отражает линейную зависимость полезности от затрат, характерную для группы лиц, которые к риску относятся с безразличием.

На рис.2 показаны кривые полезностей для двух предпринимателей, один из которых склонен к риску (2), а другой – осторожный и консервативный (1).

Постулаты теории полезности. Рассмотренный выше метод основан на некоторых постулатах, которые можно назвать постулатами теории полезности. Для ряда вероятных событий А, В, С они сводятся к следующим.

1) условие транзитивности: если А > В (т.е. А предпочтительнее, чем В, и В > С, то А > С и если А = В (т.е. А эквивалентно В), и В = С, то А = С;

2) случайное событие предпочтительнее других только в том случае, когда вероятность связанного с ним более желательного результата выше, чем вероятность менее желательного результата;

3) при выборе решения может быть учтен дополнительный риск; это относится, например, к ситуации, когда событие А происходит с вероятностью р, а с вероятностью 1-р происходит либо событие В с вероятностью р^’, либо событие С вероятностью 1-р^’.

Другими словами,

эквивалентно

4) если событие В по предпочтительности занимает промежуточное место между событиями А и С, то можно установить соотношение эквивалентности между событиями А или С; это означает, что если А>B>C, то существует такая вероятность р при 0  р  1, что

B  [p, A; (1-p), C].

На основе этих четырех постулатов для некоторой переменной может быть определена единственная функция полезности, которая должна удовлетворять следующим условиям:

если А > В, то и u(A) > u(B), т.е. полезность события А больше чем полезность события В, когда А предпочтительнее В.