11.2. Идеализированный трансформатор

Для упрощения исследования процессов, наблюдаемых в трансфор­маторе, рассмотрим идеализированный трансформатор, у которого отсутствует магнитное поле рассеяния и имеется только один рабочий магнитный поток Ф, замыкающийся через магнитопровод. В таком трансформаторе сопротивления обмоток r₁ и r₂ равны нулю. Перемен­ный рабочий магнитный поток Ф наводит в обмотках трансформатора э. д. с. соответственно

(11.7)

Согласно второму закону Кирхгофа, для первичной цепи идеализи­рованного трансформатора имеем

(11.8)

откуда

Таким образом, в идеализированном трансформаторе напряжение, приложенное к первичной обмотке, уравновешивается только индуциро­ванной в этой обмотке э. д. с. Наведенная во вторичной обмотке э. д. с. е₂ численно равна напряжению на сопротивлении нагрузки Z_н (u₂ = e₂), так как r₂ = 0. Поэтому коэффициент трансформации идеализированного трансформатора

(11.9)

Итак, в идеализированном трансформаторе первичное напряжение u₁ отличается от вторичного напряжения u₂ в k₁₂ раз независимо от нагрузки, причем повышение или понижение напряжения происходит без искажения формы кривой, соответствующей первичному напряжению.

Рассмотрим режим холостого хода, когда цепь вторичной обмотки разомкнута и ток i₂ = 0. Если при холостом ходе первичное напряжение u₁ синусоидально, то, как и в идеализированной катушке, изменение магнитного потока в магнитопроводе идеализированного трансформато­ра также синусоидально и его значение определяется приложенным напряжением u₁, что следует из уравнений (8.8) и (11.7):

Следовательно, рабочий магнитный поток Ф идеализированного трансформатора изменяется синусоидально и отстает по фазе на угол π/2 от приложенного напряжения u₁.

Если в уравнении (11.8) мгновенные значения напряжения u₁ и э. д. с. заменить их действующими значениями, то для режима холосто­го хода его можно записать в комплексной форме:

(11.11)

где E₁ = 4,44fw₁Ф_m — действующее значение э. д. с. первичной обмотки трансформатора по формуле (8.6). Из (11.11) следует, что в идеализиро­ванном трансформаторе при холостом ходе приложенное напряжение U₁ численно равно э. д. с. E₁: U₁ = Е₁ = 4,44fw₁Ф_m. Поэтому если приложенное к трансформатору напряжение U₁ не изменяется, то магнитный поток Ф₁ в магнитопроводе трансформатора постоянен. Если первичное напряжение U₁ при нагрузке идеализированного трансформатора остается неизменным, то E₁ будет такой же, как и при холостом ходе. Таким образом, магнитный поток в магнито­проводе трансформатора зависит исключительно от приложенного напряжения U₁. При U₁ = const рабочий магнитный поток как при холостом ходе трансформатора, так и при нагрузке одинаковый, равный суммарному потоку при нагрузке:

(11.12)

где Ф₀ — магнитный поток при холостом ходе трансформатора; Ф₁ и Ф₂ — магнитные потоки, создаваемые токами первичной и вторич­ной обмоток трансформатора. Уравнение (11.12), записанное в комплекс­ной форме:

(11.13)

характеризует свойство неизменности магнитного потока трансфор­матора при переходе его из режима холостого хода к режиму нагруз­ки. Из этого свойства следует неизменность магнитодвижущей силы (м. д. с.), создающей этот поток, что позволяет записать

(11.14)

где — м. д. с., создаваемая первичной обмоткой при холос­том ходе (при переменном токе оперируют с амплитудами м. д. с., поэтому имеется множитель );- суммарнаям. д. с., создаваемая первичной и вторичной обмотками трансфор­матора при нагрузке.

Подставив в (11.14) значения м. д. с. при холостом ходе и при нагрузке, получаем

(11.15)

Уравнение (11.15) описывает магнитное состояние трансформатора и называется уравнением равновесия магнитодвижущих сил.

Разделив правую и левую части уравнения (11.15) на ,полу­чаем уравнение токов:

(11.16)

где I₀ - составляющая тока первичной обмотки, равная току холосто­го хода, которая создает магнитный поток в сердечнике трансфор­матора; - составляющая тока первичной обмотки,компенсирующая воздействие на магнитный поток сердечника Ф м. д. с. вторичной обмотки трансформатора, т. е. нагрузочная составляющая тока первичной обмотки. Нагрузочная составляющая I'₂ создает м. д. с. I^’₂w₁, равную по значению и противоположную по фазе м. д. с. вторич­ной обмотки I₂w₂, т. е. компенсирует м. д. с. вторичной обмотки, обусловливая тем самым в сердечнике трансформатора неизменность магнитного потока.

Мощность, создаваемая токомI^’₂, равна мощности трансформатора, которую он отдает потребителю:

Таким образом, нагрузочная составляющая первичного тока обеспечи­вает также поступление из электрической сети в трансформатор мощ­ности, которую он затем отдает нагрузке.

На рис. 11.2, а представлена векторная диаграмма идеализирован­ного трансформатора, работающего в режиме холостого хода. Если ферромагнитный сердечник идеализированного трансформатора не насыщен, то ток первичной обмотки прямо пропорционален магнит­ному потоку. Поэтому ток холостого хода I₀ на диаграмме изобра­жен вектором, совпадающим по фазе с вектором магнитного потока Ф_m. Согласно уравнениям (8.5) векторы э. д. с. E₁, E₂ изображены на диаграмме совпадающими по фазе друг с другом и отстающими от магнитного потока Ф_m на угол π/2, так как они наводятся одним и тем же магнитным потоком. Э. д. с. вторичной обмотки трансформатора определяется по формуле Е₂ = 4,44fw2Ф_m.

В соответствии с уравнением (11.11) векторы напряжения U₁ и э. д. с. E₁ показаны на диаграмме в противофазе. Следует отметить, что на векторных диаграммах трансформатора всегда изображают амплитуд­ное значение магнитного потока Ф_m.

На рис. 11.2,б представлена векторная диаграмма идеализирован­ного трансформатора, работающего под нагрузкой.

Рассмотрим схему замещения идеализированного трансформатора. Связь между электрическими цепями часто осуществляют с помощью трансформаторов. При расчете электрических цепей магнитную связь между первичными и вторич­ными цепями трансформаторов за­меняют электрической, что упро­щает анализ таких цепей. Сущность этого метода заключается в том,что при равенстве числа витков вто­ричной и первичной обмоток будут равны и их э. д. с. , по­этому в этом случае электро­магнитную связь между обмотками можно заменить чисто электрической связью. В самом деле, если электри­чески связать цепь нагрузки трансформатора с его первичной обмоткой, предварительно отключив нагрузку от вторичной обмотки, то напряжение на нагрузке станет равным напряжению первичной цепи (u'₂ = u₁). Таким образом, при построении схемы замещения реальный трансфор­матор с w₁ ≠ w₂ и k ≠ 1 заменяют эквивалентной электрической схемой .(приведенным эквивалентным трансформатором с w₁ = w'₂ и k = 1). При таком замещении все величины вторичной цепи транс­форматора приводят обычно к величинам первичной цепи. При приведе­нии необходимо соблюдать ряд условий, в частности такое, что приве­денный трансформатор должен быть эквивалентен в энергетическом отношении реальному трансформатору, т. е. баланс энергии, преобра­зуемой во вторичной цепи из магнитной в электрическую, реального и приведенного трансформаторов должен быть одним и тем же:

откуда приведенная э. д. с. вторичной обмотки

(11.17)

где i'₂ = —i₂w₂/w₁ — приведенный ток вторичной обмотки (11.16).

Мощность, отдаваемая трансформатором потребителю в реальном и приведенном трансформаторах, должна быть одинаковой:

откуда приведенное напряжение вторичной обмотки

(11.18)

Магнитодвижущая сила реального и приведенного трансформа­торов также должна быть одинаковой, т. е.

откуда приведенный ток вторичной обмотки

(11.19)

Падение напряжения на активных сопротивлениях во вторичнойцепи реального и приведенного трансформаторов должно быть одним и тем же:

(11.20)

откуда

Приведенное активное сопротивление приемника r'_н можно также определить из равенства мгновенных мощностей, затрачиваемых на нагрев во вторичной цепи приведенного и реального идеализирован­ного трансформаторов: r'_H (i'₂)² = r_Н (i₂)², откуда

Падение напряжения на индуктивной нагрузке идеализированного трансформатора

откуда индуктивность нагрузки

Приведенная индуктивность нагрузки

Подставляя в последнее выражение значения u'₂ согласно (11.18) и i'₂ согласно (11.19), получим

(11.21)

Падение напряжения на емкостной нагрузке идеализированного

трансформатора исходя из формулы i₂ = С_нdu₂/dt равно du₂ = (1/C_н)i₂dt, откуда емкость нагрузки

Приведенная емкость нагрузки

(11.22)

Величины е'₂, u'₂, i'₂, r'_н, L'_н, С'_н характеризуют электрическую цепь нагрузки вторичной обмотки трансформатора, которая приведена к первичной. Такое приведение позволяет построить схему замещения идеализированного трансформатора в виде, представленном на рис. 11.3. В этой схеме магнитная связь между первичной и вторичной обмотками заменена электрической связью. Схема замещения построена на осно­вании следующих выражений:

(11.23)

гдеZ_m — параметр, изображающий магнитную цепь и называемый условно полным сопротивлением контура намагничивания; r_m — активное сопротивление контура намагничивания, обусловленное потерями на гистерезис и вихревые токи в магнитопроводе; Х_т — индуктивное сопротивление контура намагничивания, обусловленное затратой энер­гии, идущей на создание основного магнитного потока Ф в магнито­проводе. При этом сопротивления r_m и Х_т необходимо выбрать так, чтобы в режиме холостого хода, когда практически E₁ равна номинальному напряжениюU₁, ток холостого хода

т. е. отношениеE₁/Z_m было бы равно по модулю действующему значению тока холостого хода, а мощность I₀E₁cosφ₀ = I²_or_m была бы равна мощности, забираемой трасформатором из сети при холостом ходе. На рис. 11.3 участок схемы заме­щения между точками а и b, через которые проходит ток I₀, за­мещает намагничивающий контур трансформатора.