1.6. Метод контурных токов

Этот метод наиболее часто применяют на практике для расчета сложных цепей, так как он позволяет при числе уравнений, меньшемчисла неизвестных величин, находить все эти неизвестные величины.Метод заключается в том, что вместо действительных токов вветвях на основании второго закона Кирхгофа определяют так называемые контурные токи в независимых контурах. Контурным называетсятакой расчетный (условный) ток, который замыкается только по своему контуру, оставаясь вдоль него неизменным. Согласно этому методу, действительный ток в любой ветви, принадлежащей только одному контуру, численно равен контурному току, а в ветви, принадлежащей нескольким контурам, равен алгебраической сумме контурных токов проходящих через эту ветвь. Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, в этом случае равно числу независимых контуров N. Число независимых контуров определяется уравнением

N = b – y +1, (1.29)

где b — число ветвей; у — число узлов. Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов, принято сумму сопротивлений, входящих в контур, называть собственным сопротивлением контура, а сопротивление, принадлежащее одновременно двум или нескольким контурам,- взаимным сопротивлением контуров. Направление контурного тока в независимом контуре выбирают произвольно. Обычно направление обхода контура прини­мают совпадающим с положительным направлением контурного тока, поэтому падение напряжения при прохождении контурного тока в соб­ственном сопротивлении контура оказывается положительным. Падение напряжения на взаимном сопротивлении контуров будет положительным, если направление контурного тока в смежном контуре совпадает с направлением обхода, и отрицательным, если направление контурного тока в смежном контуре не совпадает с направлением обхода. Значение э. д. с. берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с положительным направлением э. д. с., и со знаком минус — если не совпадает.

Метод контурных токов рассмотрим на примере схемы рис. 1.14. Для расчета необходимо разбить схему, согласно (1.29), на три независимых контура: I, II, III. Через элементы (сопротивления) каждого контура проходит свой контурный токI₁₁, I₂₂, ,I₃₃,, причем его направление в каждом контуре выбираем одинаковым (по часовой стрелке).

Из второго закона Кирхгофа вытекает следующая обобщенная формализованная система уравнений:

(1.30)

Здесь r₁₁ = r₁+r₅+r₄ ; r₂₂ = r₄+r₆+r₂ ; r₃₃ =r₃+r₅+r₆ ;

r₁₂ = r₂₁ = -r₄ ; r₂₃ = r₃₂ = -r₆ ; r₁₃ = r₃₁ = -r₅ ;

E₁₁ = E₁ – E₄ ; E₂₂ = E₄ – E₂ ; E₃₃ = E₃ .

Решая совместно систему уравнений (1.30), находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃, а по их значениям действительные токи в ветвях схемы. Если значение контурного тока отрицательно, это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному.

Необходимо отметить, что метод контурных токов рационально применять тогда, когда число узлов схемы, уменьшенное на единицу,больше числа независимых контуров, т. е. у — 1 > k.