Задачи

81

82

10BГ л а в а 4

11BЗАДАЧИ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ

СОДЕРЖАНИЕМ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

27B4.1. Задача о росте производства

Покажем, как уравнения, рассмотренные во введении в связи с задачами динамики популяций, возникают при описании экономических процессов. Пусть y(t) – интенсивность выпуска продукции некоторым

предприятием в момент времени t , а p – цена продукции. Выручка предприятия от продажи продукции составляет величину p y(t) . Пред-

положим, что некоторая фиксированная доля выручки направляется на расширение производства и что скорость изменения интенсивности вы-

где k = const – некоторый коэффициент. Если цена p остается постоян-

ной, то уравнение (21) является уравнением естественного роста. Его решение, как известно из введения, имеет вид

y(t) = y0ekp(t−t0 ) ,

где y0 = y(t0 ) – интенсивность выпуска в начальный момент времени.

На практике с увеличением выпуска продукции происходит насыщение рынка и цена падает. Если снижение цены происходит по простейшему линейному закону, то есть p =b −ay , где a и b – некоторые

положительные постоянные, то уравнение (21) превращается в логисти-

ческое уравнение

83

Это уравнение с разделяющимися переменными встречалось выше при частных значениях коэффициентов (см. пример 6). По смыслу зада-

чи y удовлетворяет неравенству 0 < y < ba . При этом из (22) следует, что

Если функция ED ( p) задана, то (23) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для определения функции D( p) .

Пример 18. Найти функцию спроса D( p) , для которой эластичность:

а) постоянна; б) прямо пропорциональна цене.

Решение. а) Имеем ED ( p) = −k , k > 0 . Тогда уравнение (23) примет вид

Dp D′= −k .

Разделив переменные, получим

DD′ = − kp ==> dDD = − kp dp ==> ∫dDD = −k ∫dpp

и после вычисления интегралов найдем

D( p) = pCk .

б) В этом случае ED ( p) = −kp , k > 0 . Выполнив аналогичные дейст-

вия, найдем

D( p) =Ce−kp .

84