8. Примесные полупроводники

Замещение части атомов полупроводника в узлах кристаллической решетки атомами примеси приводит к существенному изменению его электрических свойств. Такие полупроводниковые материалы называют примесными и соответственно их электропроводность примесной. Наиболее применяемыми примесями в кремнии являются пятивалентный фосфор и трехвалентный бор. В связи с тем, что фосфор и бор имеют разное количество валентных электронов, они будут оказывать и различное влияние на электрические свойства кремния. Рассмотрим действие каждого из них в отдельности.

На рис. 1.8 условно изображена решетка кремния с примесью атомов фосфора. Для образования ковалентных связей с соседями атому фосфора достаточно четырех электронов. Пятый электрон атома фосфора оказывается связанным слабо и может быть легко отщеплен при поглощении части энергии тепловых колебаний решетки. В этом случае в зоне проводимости кремния

Рис. 1.8. Схематическое изображение решетки кремния с примесью фосфора.

появляется один свободный электрон , а атом фосфора превращается в положительно заряженный ион. При этом образование дырки не происходит, т.к. ковалентные связи в кристалле не нарушаются. Следовательно, в кремнии с пятивалентной примесью лишь электроны могут участвовать в электропроводности. Такой полупроводник называют полупроводником п-типа (от слова negative – отрицательный). Атомы примеси, поставляющие электроны проводимости, называются донорами.

При приближении свободного электрона к положительно заряженному иону примеси он может быть захвачен этим ионом. Таким образом, в полупроводнике происходят два процесса: процесс ионизации ионов примеси, сопровождающийся появлением свободного электрона проводимости, и процесс деионизации при захвате свободного электрона ионом примеси и превращении последнего в атом. С увеличением температуры количество свободных электронов сначала растет, а затем достигает насыщения, т.к. при высокой температуре почти все атомы примеси будут находиться в ионизированном состоянии.

Примеси искажают электрическое поле решетки. Это приводит к возникновению на энергетической диаграмме локальных уровней, расположенных в запрещенной зоне кристалла (рис. 1.9). Уровни энергии, образованные донорной примесью, называются донорными уровнями. Энергию, соответствующую локальному уровню, электрон может иметь, лишь находясь вблизи атома примеси, вызвавшего появление этого уровня. Следовательно, электрон, занимающий примесный уровень, локализован вблизи атома примеси. Однако, любой уровень зоны проводимости или валентной зоны может быть занят электроном, находящимся в любом месте кристалла. CEVEDEDE Рис. 1.9. Энергетическая диаграмма полупроводника п – типа ( – энергия уровня донорной примеси).

Донорные уровни

Теперь рассмотрим решетку кремния с примесью трехвалентного элемента, например, бора (рис. 1.10), который имеет всего три валентных электрона, в то время как для образования ковалентной связи с соседями необходимы четыре электрона. Это означает, что одна из связей будет неукомплектованной. Недостающий четвертый электрон может быть захвачен из соседней связи. При этом атом бора превратится в отрицательный ион, а оборванная (неукомлектованная) связь соседних атомов кремния будет представлять собой дырку, способную блуждать по кристаллу. Это означает, что электрический ток в таком полупроводнике будет обусловлен движением дырок. Проводимость в этом случае называется дырочной, а полупроводник – полупроводником р-типа (от слова positive – положительный). Примеси, захватывающие электроны и вызывающие вследствие этого возникновение дырок, называются акцепторными.

Акцепторам на энергетической диаграмме соответствуют локальные энергетические уровни, расположенные в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны (рис. 1.11). Возникновению дырок отвечает переход электрона из валентной

Рис 1.10. Схематическое изображение решетки кремния с примесью бора.

зоны на акцепторный уровень. Происходят и обратные переходы электрона с акцепторного уровня в валентную зону. При обратном переходе имеет место разрыв одной из четырех ковалентных связей иона примеси с его соседями и рекомбинация электрона, освободившегося при этом, с дыркой. В области невысоких температур, когда вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости мала, электропроводность полупроводника р-типа будет осуществляться за счет движения дырок в валентной зоне.

подобными уравнениям (2.13) - (2.15) для электрона.Таким образом, с точки зрения зонной теории дырочная проводимость полупроводника обусловлена электронами почти заполненной валентной зоны, а концентрация дырок р определяется числом свободных состояний в этой зоне.

В то же время с точки зрения статистики дырку можно определить как незанятое электроном состояние на энергетическом уровне Е, поскольку дырка помещается на место удаленного электрона. Поэтому вероятность заполнения энергетического уровня Е дыркой будет равна вероятности отсутствия на этом уровне электрона: , гдефункция распределения Ферми - Дирака.

Подобно электронам зоны проводимости, образующим электрон­ный газ, дырки валентной зоны образуют дырочный газ, который может быть вырожденным или невырожденным. При этом полный ток в полупроводнике складывается из токов, создаваемых электронами зоны про­водимости и дырками валентной зоны.

Квазиимпульс

Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, как известно, можно охарактеризовать энергией Е и импульсом Р. При этом связь между энергией и импульсом дается формулой .

Согласно де Бройлю свободному электрону массы , движущемуся со скоростьюv, соответствует волна, длина которой может быть определена из соотношения , гдеh — постоянная Планка.

Так как волновое число — число волн, укладывающихся на длине см, равно:, то импульс свободного электрона, а его энергия, где- квант действия.

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести величину , называемуюквазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром k (;;,=0,,,…;=0,,,…;=0,,,…, где,,- размеры кристалла в форме параллелепипеда) квазиимпульср также должен принимать ряд дискретных значений. Т.к. компоненты вектора k - ,,-находятся в интервалах от до, то в кубической решетке квазиимпульс должен изменяться в пределах,i=x,y,z.

Энергия электрона в кристалле – четная функция квазиимпульса, т.е. .

9. Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике

Напомним, что полупроводник называется собственным, если в нем отсутствуют донорные и акцепторные примеси. В этом случае электроны появляются в зоне проводимости только за счет теплового заброса из валентной зоны, тогда n = p (рис. 1.5)

Рис. 1.5. Заброс из валентной зоны

При отсутствии внешних воздействий (освещение, электрическое поле и т.д.) будем обозначать концентрации свободных электронов и дырок с индексом нуль, то есть n₀ и p₀ соответственно. При n₀ = p₀ из (1.14) получаем:

(1.15)

Напомним, что значком n_i принято обозначать концентрацию собственных носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне. Для расчета N_C и N_V используется формула (1.11). Как следует из соотношения (1.15), концентрация собственных носителей определяется в основном температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника. На рисунке 1.6 представлена зависимость концентрации собственных носителей от температуры для наиболее распространенных полупроводников – кремния, германия, арсенида и фосфида галлия. Видно, что при изменении ширины запрещенной зоны в диапазоне от 0,6 эВ для германия до 2,8 эВ для фосфида галлия собственная концентрация n_i при комнатной температуре изменяется от значения 10¹³ см^-3 до 10¹ см^-3.

Рис. 1.6. Зависимость концентрации собственных носителей от температуры для наиболее распространенных полупроводников – кремния, германия, арсенида и фосфида галлия [2, 5]

Концентрация электронов и дырок в примесном полупроводнике

Уравнение (1.14) справедливо только для равновесных носителей заряда, то есть в отсутствие внешних воздействий. В наших обозначениях

. (1.16)

Пусть полупроводник легирован донорами с концентрациейN_D. При комнатной температуре в большинстве полупроводников все доноры ионизованы, так как энергии активации доноров составляют всего несколько сотых электронвольта. Тогда для донорного полупроводника (рис. 1.7)

(1.17)

Концентрацию дырок в донорном полупроводнике найдем из (1.16):

. (1.18)

На рисунке 1.7 приведена зонная диаграмма полупроводника n-типа, показывающая положение энергетических уровней донорной примеси E_D и схематическое

соотношение концентраций основных n₀ и неосновных p₀ носителей.

Рис. 1.7. Зонная диаграмма полупроводника n-типа

Соответственно если полупроводник легирован акцепторами с концентрацией N_A, то концентрации основных p₀ и неосновных n₀ носителей будут

и (1.19)

На рисунке 1.8 приведена зонная диаграмма полупроводника p-типа, показывающая положение энергетических уровней акцепторной примеси E_A и схематическое соотношение концентраций основных p₀ и неосновных n₀ носителей.

Рис. 1.8. Зонная диаграмма полупроводника p-типа

Определение положения уровня Ферми

В предыдущих рассуждениях мы считали, что уровень Ферми задан. Посмотрим теперь, как можно найти положение уровня Ферми.

Для собственного полупроводника уравнение электронейтральности приобретает вид p – n = 0 или p = n. Если ширина запрещенной зоны полупроводника достаточно велика (E_g много больше kT) и если эффективные массы электронов m_n и дырок m_p одного порядка, то уровень Ферми будет достаточно удален от краев зон (E_C – F > 2kT и F – E_V > 2kT) и полупроводник будет невырожденным.

Подставляя (1.10) и (1.13) в уравнение p + p_D – n – n_A = 0, имеем:

.

Отсюда вычисляем F. Это уравнение первого порядка относительно .

Это дает

где через E_i = ½(E_V + E_C) обозначена энергия середины запрещенной зоны. При выводе правого выражения для F величина (N_C/N_V) была заменена на (m_n/m_p) с помощью уравнения (1.11).

Для случая m_n^* = m_p^* энергия Ферми в собственном полупроводнике находится посреди запрещенной зоны F = (E_C + E_V)/2.

Положение уровня Ферми зависит от того, какие другие величины заданы. Если известны концентрации носителей заряда в зонах n и p, то значение F можно определить из формул (1.10) и (1.13). Так, для невырожденного полупроводника n‑типа имеем:

. (1.22)

Аналогично для невырожденного полупроводника p‑типа

Из выражения (1.22) видно, что чем больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми к краю соответствующей зоны. Для донорного полупроводника n₀ = N_D (1.17), тогда

. (1.24)

Для акцепторного полупроводника p₀ = N_A (1.19), тогда

(1.25)