- •А).Необходимость в зонной теории.
- •Б. Основные понятия зонной теории (определения, постулаты и гипотезы).
- •Можно показать, что скорость групповая равна скорости частицы в классическом понимании. Задача: Показать, что скорость групповой волны равна скорости частицы (использовать:
- •Заметим,
- •В. Основы зонной теории кристаллов
- •Операторы энергии (гамильтониан) и уравнения Шредингера.
- •Стационарные состояния и уравнение Шредингера для стационарных состояний
- •Г. Движение электронов в твердых телах (зонная теория)
- •Связь проводимости со сферой Ферми
В. Основы зонной теории кристаллов
Допущения:
справедлив принцип Паули;
справедлив принцип неразличимости тождественных частиц;
электроны взаимодействуют с трехмерным периодическим полем кристалла;
химическая связь и физические свойства определяются только внешними электронами;
внутренние электроны экранируют внешние электроны от полей ядер, существенно уменьшая эти поля, так что на внешние электроны действует потенциал, который намного меньше потенциала ядра.
Операторы энергии (гамильтониан) и уравнения Шредингера.
Логика конструирования уравнений Шредингера:
- волновой процесс;
- использование мировых констант;
- линейные и однородные по(необходимость удовлетворения принципу суперпозиции - интерференция и дифракция);
- волна де Бройля – одно из его решений;
- существуют.
Отсюда
уравнение Шредингера для p=const(для волнового процесса сP=const(волна де Бройля).
Т.к. , то введем силовые поляU(r).
Тогда получим - уравнение Шредингера, описывающее
волновую функцию в потенциальном поле U(r).
При этом - однозначны, конечны, непрерывны в точках и линиях разрыва;- собственные значения,- собственная функция.
Стационарные состояния и уравнение Шредингера для стационарных состояний
Выберем , стремящуюся к; цель – убрать для* зависимость отt.
Тогда f(t). Подставимв уравнение Шредингера и с учетом полной энергии частицы, получаем уравнение Шредингера для стационарных состояний:
- удовлетворяет принципу суперпозиции.
Однако, если два стационарных состояния, то отсюда не следует, чтотакже описывают стационарное состояние.
Г. Движение электронов в твердых телах (зонная теория)
1. Так как , (казиимпульс и квазивектор), то решения ищем в виде функций Блоха:
Система обладает инвариантностью сдвига только на векторы решетки.
2. Нахождение энергетического спектра электронов в кристаллах.
для одной степени свободы.
Для N атомов:
а) M>>m (адиабатное приближение):
Для электронов:
Для ядер:
Здесь Е - энергия электронов, движущихся в поле малоподвижных ядер,
- полная энергия кристалла.
б) Одноэлектронное приближение.
- постоянное усредненное поле от всех электронов.
Тогда .= -E -Это одноэлектронное уравнение Харти-Фока.
Решение одноэлектронного уравнения:
, каждое изудовлетворяет этому уравнению.
Исследуем его решение для одного электрона.
Т.к. для изолированного атома,
то запишем зависимость U(r) в виде функции меандра – модель Кронига – Пени:
гдеc=a+b– период решетки.
Замечание :член в видене учитывает принципа Паули.
Поправим уравнение Харти-Фока: представим одноэлектронную волновую функцию в первом квантовом состоянии в виде:
В результате полная волновая функция системы электронов с учетом суперпозиции Паули может быть записана в виде:
Рассмотрим энергию электрона при E<U*.
Имеем
V(r) - потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром,
(r) – потенциальная энергия взаимодействия электрона с полями всех электронов.
Заметим: у нас одно уравнение с тремя неизвестными – E,,K.
Как же быть? Исходя из изложенных выше физических представлений следует, что разумно искать в виде.
Тогда для таких граничных условий по , подставивв уравнение Шредингера, имеем:
и для получаем:
Отсюда получаем:
0<x<a: ;
a<x<(a+b): .
Постоянные A,B,C,Dвыбираем так, чтобыбыли непрерывны при r=0 иr=a, и чтобы.
Имеем: A+B=C+Dприr=0 сшили U(r).
Система имеет решение, если детерминант матрицы, состоящей из коэффициентов системы равен нулю.
Отсюда .
Перейдем к пределу:
Точнее:(физический смыслp– вероятность туннелирования электрона
через барьер).
Тогда (*)
Итак: будет удовлетворять (*) и исходному волновому уравнению, если (*) будет иметь решения относительно.
Решим графически:
Методика решения: Возьмем (a,k)1, находимcos(ak1), точки пересечения линии, параллельной (0,a) дают абсциссы, являющиеся корнями (*), соответствующими…данному (ak)1. Так какcos(ak)=1, то левую часть надо рассматривать между двумя параллельными линиями. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр и находим совокупность корней.
Т.е. получили дисперсионное соотношение E=f(k) для решетки с периодом ,a.
Если p<1, то запрещенные области уменьшаются, а разрешенные зоны растут.
Если p>>1(случай сильной связи электронов со своими атомами), то ширина запрещенной зоны увеличивается, ауменьшаются, пока в пределе не превращаются в точки (дискретные уровни изолированных атомов)здесь.
Если p0(слабая связь), то (*)cos(ka)=cosa, т.е. запрещенных зон нет, приближаемся к случаю электронного газа в кристалле (к случаю металла).
при p0 (Uмедленнее, чемb0), прозрачность барьера растет.
Исходя из анализа p=(0,), граница допустимых значений(а значит Е) соответствует дляkзначениям.
Вспомним:
Т.е. диапазон предельных значений соответствует А т.к.k=.
Получили дисперсионное соотношение для p=3/2:
Трехмерная ситуация:
,
полная волновая функция одного электрона - ,
если переменные в уравнении Шредингера разделяются.
Если p>>1:
Если ячейки кубические: то
т.к. , то
Т.е. сопоставляется с неким импульсом (квазиимпульсом) электронов в зоне (вспомним, для свободной частицы). Т.к. для электронов, то
.
Замечание:
В случае эксперимента с рентгеновскими лучами n=2asin– условие Вульффа-Брега для отражения рентгеновских лучей от кристаллической плоскости.
По аналогии с этим, границы запрещенной зоны можно определить из условия отражения электронных волн от кристаллических плоскостей. Тогда
- границы.
Т.е. область значения k, при которыхE(k) изменяется непрерывно, а на границах терпит разрыв – называетсязоной Бриллюэна.
- первая зона Бриллюэна.
Т.е. периодичность системы приводит к тому, что состояния электрона с kифизически неразличимы, то нет необходимости рассматриватьE(k) во всех зонах Бриллюэна.
E(k’)=E(k), гдеТ.е.сводим к первой зоне, меняяn(вторая зона –n=1, третья зона – возьмемn=2, и т.д.). ИзображениеE(k) в областидля всех зон называетсяприведенной зоной Бриллюэна.
В трехмерном случае при приведении зон вводятся векторы обратной решетки так, чтобы выполнялось условие:, где
Дефекты в кристаллах.
1). Пусть в узле r* существует дефект. Тогда:U(r*)=U(r)+U*. В зависимости от величины отношенияU*/Uуровни глубокие либо мелкие. Результат-в зоне запрещенной появяться локализованные разрешенные состояния,Et.
(а). Если Et<<kT, то притмесь легирующая(если электрон эмиссируется в зону С – то лок. центр является донором, если электрон захватывается из зоныV– акцептор).
2). Классификация дефектов:
точечные (n=0),-вакансии и дефекты внедрения;
линейные (n=1),-дислокации;
плоские (n=2),-границы кристаллитов;
объемные (поры и трещины).
3). Энергия ионизации атома: . Эта оценка следует из условия устойчивости атома в рамках квазиклассических рассуждений:
Действительно: условие устойчивости атома mv2/r=Ze2/r2;mvr=n; Тогда кинетическая энергия электронаE=mv2/2=me4Z2/22n2; приn=1 получаем выражение для энергии ионизации атома:
.
Заметим, из-зп поляризации среды энергия ловушки (энергия ионизации стороннего атома) равна:
.
4). Примесная зона:
Пусть Ntчисло атомов в одном см3. Тогда расстояние между атомамиan=(Nt)-1/3. Еслиao – радиус первой боровской орбиты свободного атома водорода (ao=0,53 А), то:
а=ao -радиус электронной орбиты водородоподобного атома.
Перекрытие волновых функций произойдет тогда, когда an=a. Отсюда:
an=(Nt)-1/3 = a = ao.Значит: для перекрытия волновых функций неоходимо произвести легирование материала до концентраций:
Nt=
Например, для арсенида галлия Nt> 1024(0,07/10)3~4.1019см-3.