Можно показать, что скорость групповая равна скорости частицы в классическом понимании. Задача: Показать, что скорость групповой волны равна скорости частицы (использовать:

гипотезу Планка, гипотезу де Бройля, второй закон Ньютона- для классической частицы).Доказательство: Пусть есть(x,t). Приt=0,x=0.

При t0главный максимум перемещается поr,

.

Если на частицу действует постоянная сила, то: .

Отсюда V =Vгр

Заметим,

Так как волновая функция определена с точностью до const(т.е.и Аописывают одно и тоже состояние частицы), то производят нормировку:

. Заметим, нормировка не всегда может оказаться возможной.

Задача: найти нормировку для волны де Бройля.

Т.е. физич. смысл имеет (вероятность) квадрат модуля волновой функции.

Справедлив ли принцип суперпозиции волн?

Пусть есть два состояния частицы одной: 1 -₁и 2 -₂. Какой объект описывает их суперпозиция=с₁₁+с_{22 ?} Эта волновая функция описывает тот же объект, только третье его состояние. Если для₁вероятность есть с₁²₁₁^*, а для₂– с₂²₂₂^*, то для состояниявероятность есть: с₁²₁₁^*+ с₂²₂₂^*+с₁с_{2 (21}^*+₁₂^*). Т.е. вероятность частьицы пребывать в суперпозиции двух состояний выше чем в каждом из них.

Может ли волна де Бройля диспергировать?

Из гипотезы Эйнштейна и гипотез Планка и де Бройля следует:

(E/c)²-p²=m_o²c², и, т.е. частота есть функция волнового вектора. А т.к. фазовая скорость зависит от частоты:v_ф=, то скорости волн составляющих пакет будут различны, а значит пакет во времени будет размываться.

Итак, мы ввели волновую функцию в комплексном виде и показали, что таким образом осуществленный ввод сохраняет все свойства присущие волнам.

Замечание: выше было упомянуто, что Зоммерфельд ввел в практику оценки тока такой параметр как скорость ферми электронов. Введение его оказалось очень продуктивным,- в физике полупроводников и физике твердого тела для анализа эффектов переноса и анизатропии этих эффектов используют представления о сфере Ферми. Введем ряд понятий с ней связанных и продемонстрируем ее использование при описании явлений переноса заряда в твердом теле.

Сфера Ферми. Сферой Ферми называют сферу в k-пространстве с радиусом k_F; здесь k_F- волновой вектор ферми-электрона (электрона с энергией ферми – наибольшей энергией уровня разрешенных состояний, занятого электронами в металле). Вводится ряд следующих параметров:

Приведены параметры, соответственно:

импульса, частоты, энергии и температуры ферми-электронов.

Движение сферы Ферми (в k-пространстве):

Т.е. S.

Столкновения препятствуют смещению сферы Ферми.

При этом, плотность тока можно описать так:

Пусть есть поле . Тогда:

Отсюда следует поправка к формуле Друде сделанная Зомерфельдом.

Соотношения неопределенностей:

В классике задавая импульс и энергию мы все определяем. В квантовой механике нельзя характеризовать мгновенное положение частицы, задавая одновременно точное значение импульса и координаты.

Выше мы ввели описание микрочастицы в виде волнового пакета:

(x,t)=k=.

Можно показать, что ненулевая вероятность существует обнаружить частицу только в пределах интервала: , т.е. в пределах этого пакета. Действительно (на «пальцах»): если у нас есть две одинаковые синусоиды , то сдвинув их по оси аргумента (по фазе) на 2, мы занулим суперпозицию из них. При увеличении набора из монохроматических плоских волн в волновом пакете, волновые вектора которых отличаются, ненулевое колоколообразное образование создадут те волны, у которых вариации координаты и волнового вектора находятся в следующей связи:. Остальные (синхронные вариации которых вне этого интервала) в сумме дадут нуль.

А каким мы найдем импульс частицы?

Так как то и импульсы в пакете различны. Интервал который они занимают,

, так что неизвестно, какой из них будет обнаружен при измерениях.- Можно, иногда, только указать вероятность обнаружения.

Таким образом, .-Это и есть принцип неопределенности Гейзенберга.

Принцип неопределенности Гейзенберга в 3^х мерном случае:

В волновой теории выводится . Отсюда, учитывая гипотезу Планка, имеем:

. Смысл этого соотношения: ограниченное во времени волновой процесс не может быть монохроматичным.- Это то же соотношение неопределенности Гейзенберга.