Глава 4. Основы теории размерностей и подобия. Моделирование явлений переноса
§ 4.1. Понятие о физическом подобии и моделировании
Задача 4.1.1. Рассчитать распределение температуры в длинном стальном валу диаметром 400 мм через время = 2,5 ч после загрузки его в печь. Заданы коэффициенты a = 1,18 10–5 м2/с и = 116 Вт/м2·С. Провести измерение температуры на валу не представляется возможным. Исследование решено проводить в меньшей печи на физической модели вала при более низких температурах.
Определить диаметр модели dм и время м , через которое необходимо производить измерение, соответствующее времени . Выбрать материал модели и рассчитать коэффициент для перерасчета измерений температуры в реальную температуру на валу.
Ответ: dм = 118 мм, м = 0,42 ч, t = 5tм .
Указания к решению: взять из справочника стали = 42 Вт/м·С. Основное условие при моделировании - физическое подобие процесса, т.е. для оригинала и модели определяющие критерии должны быть равны. В данном случае - нестационарном процессе теплопроводности - такими критериями будут числа Bi и Fo:
;
.
Выбрать материал модели с меньшим м = 16 Вт/м·С (легированная сталь), aм = 1,18 10–5 м2/с, задать условия теплообмена в меньшей печи м = 150 Вт/м2·С. Из условия Bi = Biм определить размеры модели, а из условия Fo = Foм - время измерения на модели. Коэффициент для пересчета температуры на модели в реальную температуру на валу получается из условия = м .
Задача 4.1.2. Шары из легированной стали, диаметром d = 100 мм, нагретые до температуры t0 = 600 C, погружают в закалочную масляную ванну с температурой tж = 200 C. Смоделировать этот процесс на увеличенной модели, охлаждаемой воздухом tжм = 20 C, для определения времени , необходимого для закалки шаров.
Определить материал и диаметр модели, если конечная температура на поверхности шара tк = 300 C.
Ответ: dм = 40 мм.
Указания к решению: найти коэффициенты = 16 Вт/м·С, a = 0,53 10–5 м2/с, = 100 Вт/м2·С. Выбрать материал модели и определить условия ее охлаждения м = 1,28 Вт/м·С (бетон), См = 0,31 кДж/кгС, м = 10 Вт/м2·С. Решение проводится аналогично решению задачи 4.1.1.
§ 4.2. Использование методов подобия для приведения уравнений к безразмерному виду
Задача 4.2.1. Привести к безразмерному виду зависимость плотности теплового потока от температурного напора и термического сопротивления в тонкой пластине методом анализа размерностей.
Ответ: в
результате получена полуэмпирическая
зависимость
,
где константа С определяется
экспериментально.
Указания к решению: определить полный список определяющих параметров
и сгруппировать их по одинаковым размерностям. Определить независимые размерности. Записать функцию в новых независимых единицах измерения:
.
Выбрать Ai такими, чтобы в функции осталось как можно меньше членов, зависящих от чего-либо:
.
Записать функцию в новом виде и исключить константы:
.
Задача 4.2.2. Методом анализа размерностей найти зависимость в безразмерном виде коэффициента теплоотдачи для конвективного теплообмена при вынужденной конвекции в стационарном режиме от определяющих их параметров, выразить этот коэффициент через все параметры.
Ответ:
,
где константа C и
показатели степени n,
k и pi
определяются экспериментально.
Указания к решению: определить полный список определяющих параметров
,
где w - скорость потока “на бесконечности”, - кинематическая вязкость [ м2/с ].
Дальнейшее решение выполнить аналогично решению задачи 4.1.1 и привести к функции
,
где
(из закона Ньютона-Рихмана).
,
где
,
,
,
.
Окончательная зависимость ищется в виде степенной функции
,
где константа C и показатели степени n, k и pi определяются экспериментально.