Решаем уравнение

;

Представим изотермическую поверхность радиусом rслева отr₀и запишем количество тепла, прошедшее через нее:

;

проинтегрируем

;

получим ;

аналогично для правой области получаем для t = t(r):

.

Контрольные вопросы и задача

1. Зачем при расчете теплопроводности в стенке трубы вводится понятие тепловой нагрузки погонного метра трубы?

2. Какие конструктивные параметры следует изменить, если оказывается, что потери тепла от цилиндрического паропровода увеличены, несмотря на увеличение толщины теплоизоляции?

3. Определить расчетом стационарную тепловую мощность, отводимую от стенки цилиндрического реактора с многослойной теплоизоляцией, если известна температура внутри реактора, а снаружи он охлаждается вынужденным потоком газа или жидкости. Как на этот расчет повлияет величина диаметра реактора?

4. Показать расчетом, что для тонкого паропровода (d = 10 - 20 мм), теплоизолированного асбестом, возможно увеличение тепловых потерь по сравнению с неизолированным. Как оптимизировать конструкцию, чтобы избежать конденсации пара внутри него?

Задача.Электропровод диаметромd₁ = 1,5 мм имеет температуру t_c1 = 70 C и охлаждается потоком воздуха с температурой t_ж = 15C. Коэффициент теплоотдачи от поверхности провода к воздуху₁ = 16 Вт/(м²С).Определить температуру, которую будет иметь провод, если его покрыть каучуковой изоляцией толщиной = 2 мм, а силу тока в проводе оставить без изменений. Коэффициент теплопроводности каучука = 0,15 Вт/(мС).Коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции к потоку воздуха₂= 8,2Вт/(м²С).

§ 2.3. Теплопроводность в тонких длинных стержнях Общая постановка задачи о теплопроводности в тонком длинном стержне

Определить поле температуры в тонком длинном стержне при следующих условиях однозначности.

Г

Рис.2.21.

еометрические:стержень прямой с поперечным сечениемF, периметром П и длинойl (рис.2.21).

Условие длинности стержня:

; - эквивалентный диаметр.

Пl>>F

Физические:=(t); c=c(t); q_v=q_v(x).

Временные:либо t() при = ₀, либоt = t().

Граничные: условия теплообмена на боковой поверхности и на торцах стержня. Дифференциальное уравнение теплопроводности в тонком стержне

так как стержень тонкий, тоt = t (x, y, z, t) заменяем на- среднюю по сечению температуру.

Рис.2.22.

Для элемента dx составляем уравнение за малый промежутокd(рис.2.22).

Из уравнения баланса тепла имеем

-

дифференциальное уравнение для теплопроводности в тонком стержне, где t - температура, средняя по сечению.

Рис.2.23.

В тонких стержнях внутреннее сопротивление поперек стержня мало по сравнению с внешним (рис.2.23): ,т.е. внутри стержня температура почти равномерна.

Задача.Тепловой расчет гильзы термодатчика (термометра).

Определить стационарное поле температуры в гильзе термодатчика, которая имеет длину l, толщину стенки , наружный диаметрd, коэффициент теплоотдачи,q_v= 0, коэффициент теплопроводности.

Задано:l, , t_ж, d, ,  - const, q_v= 0.

Задача на расчет гильзы термодатчика, измеряющего температуру среды t_ж(рис.2.24).

Рис.2.24.

Найти:t = t(l); t.

Дифференциальное уравнение для гильзы преобразуется в , где,. Решение этого уравнения для разностной температуры:

; ,

где .

Сравним численное решение для двух случаев: гильза медная и стальная.

Для заданных значений:

l = 150 мм, = 1 мм,V₀= 80⁰C,d = 20 мм,20 Вт/м²град.

Погрешность измерения:

t = 50 0C (медная);

t  2 0C (стальная).

Если же V₀ = 1000 ⁰C, то

t = 500 0C (медная);

t = 20 0C (стальная).

В этом расчете принималось .

Определим потери тепла через торец длинного стержня:

.

Потери через торец: .

Контрольные вопросы

1. Как влияют геометрические размеры на погрешности измерения температуры среды термодатчиком, обусловленные теплопроводностью вдоль длинного стержня?

2. Составить схему расчета потерь тепла по длинному стержневому элементу оборудования, при этом учесть, что внутри реактора газовая среда, ее температура выше, чем снаружи, а стержневой элемент проходит через стенку реактора.

3. Как используется модифицированное уравнение теплопроводности Фурье для решения задачи теплопроводности в длинном стержне?

4. Как отразится на измерении температуры газа внутри реактора удлинение гильзы термодатчика? Объяснить причину.

5. Как изменится погрешность измерения температуры среды, если изменить диаметр гильзы термодатчика, не меняя его толщины?