- •Глава 2
- •Приведение к безразмерному виду результата расчета профиля температуры:
- •Контрольные вопросы и задача
- •§ 2.2. Задачи для стенки тонкой трубы
- •Решаем уравнение
- •§ 2.3. Теплопроводность в тонких длинных стержнях Общая постановка задачи о теплопроводности в тонком длинном стержне
- •Граничные: условия теплообмена на боковой поверхности и на торцах стержня. Дифференциальное уравнение теплопроводности в тонком стержне
- •Общие контрольные вопросы к главе 2
Глава 2
Простейшие стационарные процессы теплопроводности
§ 2.1. Cлучаи тонкой пластины
Тонкие пластины- это такие пластины, на процессы в которых не влияют края (рис.2.1), т.е.
< 0,1 h;
2lвозм << h,
tc1, tc2 - температуры на поверхностях ("стенка 1", "стенка 2").
Примеры тонких пластин:подложкодержатели, кремниевая пластина, стена здания, стенка холодильника и другие.
Задачи тонкой пластины в различных условиях однозначности
Задача 1. Определить стационарное поле температурыt(x, ) и тепловую нагрузку qтонкой пластины без внутренних источников тепла для граничных условий 1-го рода, = const (рис.2.2). Толщина пластины, коэффициент теплопроводности.
Рис.2.2.
Рис.2.1.
Найдем тепловую нагрузку q:
;
,
где q- тепловая нагрузка;- температурный напор;Rтерм- внутреннее термическое сопротивление.
а) общий результат для всех подобных процессов (всех плоских тонких пластин);
б) экономию в эксперименте.
Приведение к безразмерному виду результата расчета профиля температуры:
1) переходим к разностным температурам:
;
2) делим разностный температурный профиль на известную разность температур (температурный напор), в данном случае это .
или ,
где - безразмерная температура;х- безразмерная координата,Х=х/.
Для выражения в безразмерном виде легче поставить эксперимент, а эксперимент необходим тогда, когда мы не можем проинтегрировать задачу.
З
Рис.2.3.
;
;
,
где .
Если (t) = a + bt, тоср. инт= ср. арифми профиль температуры внутри пластины может иметь вид, отличный от прямолинейного (рис.2.4).
Задача 3.Определить стационарную тепловую нагрузкуq тонкой пластины, которая разделяет холодную и горячую среды или жидкости, т.е. в граничных условиях 3-го рода (рис.2.5).
Задано:, , tж1,tж2, 1, 2.
Найти:q, tc1, tc2.
q=1 ( tж1 – tc1) - по закону Ньютона-Рихмана;
q = / (tc1 – tc2) - из задачи 1;
q = 2 (tc2 – tж2) - по закону Ньютона-Рихмана.
Рис.2.5.
После сложения трех уравнений
;
;
- коэффициент теплопередачи [Вт/м2С], гдеKхарактеризует интенсивность теплопередачи между горячими и холодными жидкостями через твердое тело (в отличие от- коэффициента теплоотдачи).
Задача 4. Определить стационарную тепловую нагрузкуq пакета тонких пластин, имеющих идеальный контакт друг с другом (граничные условия 4-го рода) (рис.2.6).
Рис.2.6.
Найти:q, tci.
После сложения уравнений
Рис.2.7.
,
где - внешние термические сопротивленияRвнешн;- сумма внутренних термических сопротивлений пластин.
З
Рис.2.8.
Дано:, ,tж1, tж2 , 1, 2 ,Fгл , Fp(Fгл,Fр- площадь гладкой и ребристой поверхности).
Найти:qгл, Qp.
;
сравнить с решением задачи 3 ; - коэффициент оребрения всегда больше единицы. Peбра устанавливаются там, где коэффициент теплопроводности маленький, - эффективный коэффициент теплоотдачи.
Задача 6. Определить стационарное поле температуры в тонкой пластине, на поверхности которой заданы граничные условия 1-го рода, а внутри действуют внутренние источники тепла qv 0 (рис.2.9).
Рис.2.9.
Найти: t(x), tmax , x0 ,(dt/dx)наиб x = - 0
q1, q2 - плотность теплового потока на поверхности F1 и F2.
; ;
;
; ;.
Перейдем к безразмерным величинам.
,
где ;;;
Рис.2.10.
Рис.2.11.
- результаты для поля температуры в плоской пластине с внутренним источником тепла в безразмерном виде (рис.2.10).
Найти max:
а) Симметричный случай - пластина охлаждается с обеих сторон равномерно (рис.2.11).
; ;;;
Рис.2.12.
б) Случай абсолютной асимметрии при условии Х0 = 0, т.е. максимум температуры на 1-йгранице, где(рис.2.12). Тогда;;.
Отсюда следует: q1 = 0;
;
так как , то- условие абсолютной асимметрии.
Задача 7.Найти стационарное поле температуры в тонкой пластине при наличии внутренних источников тепла и симметричных граничных условий 3-го рода (рис.2.13).
Рис.2.13.
Найти: t(x).
.
Приводим решение в безразмерном виде: - решение задачи.
Обозначим . Bi - число Био. Физический смысл Bi - мера отношений термических сопротивлений системы "пластина - среда".
.
Построим поле t в безразмерном виде (рис.2.14):
а) Bi = 0,1- можно пренебречь полем температуры внутри тела:= 21 –Х2;
б) Bi = 1 - нельзя пренебречь полем температуры внутри тела:= 3 –Х2;
в
Рис.2.14.