Градиент температуры (qrad t)

Из опыта - процесс теплопроводности возникает лишь в неравномерно нагретых телах - введем степень неравномерности поля температуры - grad t (рис.1.5),

Рис.1.5.

~ grad t - гипотеза Био-Фурье. Плотность потока (q) прямо пропорциональна grad t.

 grad t- закон Био-Фурье.

 [Вт/мС] - коэффициент теплопроводности, имеющий единственное значение для каждого исследуемого вещества.

Пример: для серебра  = 460 Вт/мС;

для меди = 380 Вт/мС.

Для газоввеличинаколеблется от 510^-3 (пары хлороформа) до 0,5 (водород при высокой температуре t), возрастает с увеличениемt и практически не зависит от давления.

Для жидкостейвеличинаизменяется от 810^-3(масла) до 0,6 Вт/мС (вода) и, как правило, уменьшается с увеличениемtи практически не зависит от давления.

Для металловвеличинаизменяется от 7 (Bi) до 460(Ag), медленно уменьшается с увеличением температуры и практически не зависит от давления (рис.1.6).

В кристаллах (анизотропных телах) коэффициент теплопроводности зависит от координат точки и направления из данной точки. В них имеются три направления; по нимдостигает экстремальных значений (главные оси проводимости), которые могут существенно отличаться друг от друга:₁₂₃, где- физический параметр, характеризует способность вещества проводить тепло.

М Рис.1.6.Атематическое описание теплопроводности

Два основных условия процесса переноса тепла теплопроводностью:

1) тепловая энергия не превращается в другие виды энергии, но другие виды энергии превращаются в тепловую;

2) более (менее) нагретые части среды (тела) неподвижны относительно друг друга.

Основные ограничения теории теплопроводности:

- все характеристики процесса являются непрерывными функциями координат и времени;

- затраты энергии на термические деформации малыпо сравнению с внутренней энергией;

- конвекция и лучистый теплообмен отсутствуют.

Дифференциальное уравнение Фурье

Вывод этого дифференциального уравнения основан на I и II началах термодинамики.

Вывод уравнения Фурье (рис.1.7):

dQ_F + dQ_v= dU + dL,

г

Рис.1.7.

деdQ_F- тепловая энергия, проходящая через поверхность тела;dU- изменение внутренней энергии;dL- энергия, затраченная на изменение объема тела.

,

- уравнение Умова. Если его дополнить законом Био-Фурье:

,

то

,

т.е. получено уравнение Фурье, или уравнение теплопроводности. При условии, что  = const в диапазонеt(t₁; t₂), или = _{средний арифметический} = = _{cредний интегральный}, следовательно,можно вынести за знак оператора, аdiv grad есть лапласиан²:

,

где - коэффициент температуропроводности, м²/с;с_v - теплоемкость при постоянном объеме.

Дифференциальное уравнение Умова- это уравнение относительно пяти неизвестных, поэтому для его решения дополняем его законом Био-Фурье и получаемуравнение Фурьеотносительно одного неизвестного - температурыt.

Контрольные вопросы

1. Объяснить суть трех механизмов переноса тепла.

2. В чем заключается различие между гипотезой и законом Био-Фурье, между уравнением Умова и уравнением Фурье?

§ 1.2. Границы применения уравнения Фурье

1. Для изохорического процесса.

2. Для областей, где все характеристики процесса - непрерывные функции координат.

Рис.1.8.

3. Если = (t), с_v = с_v(t). В условиях, когда << _срилис<< с_ср, можно принять = const, с_v=const (рис.1.8).

Если.

Если .

Коэффициент температуропроводности а, если его рассматривать как/с_v, имеет размерность [м²/ч] или [м²/с] и заключен в диапазоне:

a= 0,510^-4400 м²/ч илиа= 10^-8– 10^-1м²/с.

На примере изучения теплопроводности можно понять суть феноменологического метода.

1.	Среда непрерывная		применение математического анализа бесконечно малых или дифференциальных уравнений.
2.	Использование наиболее общих законов физики		получение незамкнутой системы дифференциальных уравнений (уравнения Умова).
3.	Использование гипотезы о дополнительных связях величин (гипотезы Био-Фурье)		получение замкнутой системы дифференциальных уравнений (уравнения Фурье).
4.	Экспериментальное определение значений  и сv		компенсация нашего незнания микроскопической природы явления или процесса

Контрольные вопросы

1. Объяснить различия между уравнением теплопроводности Фурье и законом Био-Фурье.

2. В чем заключается суть феноменологического метода? Каковы его отличия от статистического метода изучения процесса?