§ 3.2. Нестационарный процесс теплопроводности в сложных телах, образованных пересечением простых тел

Задача. Определить нестационарное поле температуры в ограниченном по длине цилиндре в граничных условиях 3-го рода (рис.3.4).

Дано: длина 2; диаметр 2r₀ (пересечение пластины и цилиндра). Так как безразмерное поле температуры в теле, образованном пересечением простых тел, равно произведению безразмерных полей температур

для этих простых тел ( ), то

Рис.3.4.

;

Безразмерную температуру в простых телах мы можем находить, используя номограммы из справочной литературы для ₁ и ₀, т.е. для точек, принадлежащих поверхности или центру тонкой пластины и цилиндра.

Контрольные вопросы

1. Как рассчитать в определенные моменты температуру в характерных точках прямоугольного подложкодержателя, имеющего толщину и горизонтальные размеры одного порядка, при его нагреве в условиях выхода на рабочий температурный режим? Сколько таких характерных точек и какие можно рассчитать, используя справочные номограммы ₁ и ₀?

2. Как рассчитать в определенные моменты времени в характерных точках цилиндрического подложкодержателя, имеющего высоту порядка его диаметра, при его нагреве в условиях выхода на рабочий температурный режим? Сколько таких характерных точек и какие можно рассчитать, используя справочные номограммы ₁ и ₀?

Задача 3.2.1. Стальной подложкодержатель, имеющий форму параллелепипеда с размерами 200  400  500 мм, имел начальную температуру t₀ = 20 C, а затем был помещен в печь с температурой t_ж = = 1400 C.

Определить температуру t_ц в центре подложкодержателя и на его поверхности (в центре большей стороны) через  = 1,5 часа после загрузки его в печь.

Ответ: t_ц = 1282 C.

Указания к решению: безразмерная температура любой точки сложного тела равна произведению безразмерных температур трех неограниченных пластин, пересечением которых образован параллелограмм:

Каждая сторона имеет размеры 2. По графикам, аналогичным _x = F(Bi, Fo, X = 0), находятся безразмерные температуры, которые перемножаются, а затем из условия находится t_ц.

Задача 3.2.2. Стальной шток цилиндрической формы диаметром d = 80 мм и длиной l = 160 мм в начальный момент времени был равномерно нагрет до температуры t₀ = 800 C. Шток охлаждается на воздухе, который имеет температуру t_ж = 30 C.

Определить температуру в центре штока t₍_x₌_0,_r_= 0) и в середине торцевой поверхности t₍_x₌_½,_r_= 0) через время  = 30 мин после начала охлаждения;  = 118 Вт/м²С.

Ответ: t₍_x₌_0,_r_= 0) = 53 С, t₍_x₌_½,_r_= 0) = 48,5 С.

Указания к решению: выбрать из справочника  = 23,3 Вт/мС, a = 6,1110^–6 м²/c. Решение аналогично приведенному в задаче 3.2.1, однако сложное тело образовано бесконечным цилиндром с радиусом r = d/2 и пластиной толщиной l = 2.

§ 3.3. Применение регулярного теплового режима для определения характеристик теплообмена

Регулярный тепловой режим при нестационарной теплопроводности - это режим, когда логарифм разностной температуры становится зависящим линейно от времени (рис.3.5).

При регулярном тепловом режиме, следовательно, ряд вырождается в первый член. Решение для поля температуры имеет вид

; , или ,

где m - темп регулярного теплового режима (m = tg ).

Рис.3.5.

Задача 1. Использование регулярного теплового режима для экспериментального определения коэффициента температуропроводности.

Необходимое условие: число ;  - const,  - const,  можно изменить за счет изменения условий охлаждения (нагрева), т.е. увеличить.

Как только , то (см. рис.3.2), тогда - темп регулярного теплового режима можно найти из экспериментально полученной кривой (прямолинейного участка) нагрева как тангенс угла наклона прямой.