Основы теории массового обслуживания

 

Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностныезадачи и математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные математические модели). Напомним, что:

Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позицийполной определенностив настоящем и будущем.

Вероятностная математическая модельучитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условияхнеопределенности.

Рассмотрим сначала некоторые понятия, которые характеризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «благоприятной», «доброкачественной».

 

Понятие случайного процесса

 

Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется некоторая система S(техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системеSпротекаетслучайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры: 1. СистемаS– технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S– самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.

 

Марковский случайный процесс

 

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времениt₀вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный моментt₀и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t₀система находится в определенном состоянииS₀. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящеми все, что было приt<t₀(предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет приt>t₀? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое времясистемаSокажется в состоянииS₁или останется в состоянииS₀и т.д.

Пример. СистемаS– группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пустьx– количество «красных» самолетов,y– количество «синих» самолетов. К моменту времениt₀количество сохранившихся ( не сбитых) самолетов соответственно –x₀,y₀. Нас интересует вероятность того, что в момент временичисленный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времениt₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до моментаt₀самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состоянияS₁,S₂, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем,если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Далее рассматриваются только процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.

Пример. Технологическая система (участок)Sсостоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S₀- оба станка исправны;

S₁- первый станок ремонтируется, второй исправен;

S₂- второй станок ремонтируется, первый исправен;

S₃- оба станка ремонтируются.

Переходы системы Sиз состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в

Рис.15.1. Граф состояний системы

состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.15.1.

Примечание. Переход из состояния S₀вS₃на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

 

Теоретической основой математического моделирования стохастических систем

исторически сложилась и сегодня является превалирующей теория массового обслуживания, а объекты исследования, в нашем случае  человеко-машинные системы  в этой теории называются системами массового обслуживания (СМО).

В теории массового обслуживания сложилась и другая, своя терминология, поэтому проанализируем параллель между этой терминологией и приводившимися выше общесистемными понятиями и определениями. Хотя в настоящей книге эти параллельные понятия и определения по существу являются синонимами, такая параллель при необходимости исследования и математического моделирования сложных человеко-машинных систем существенно облегчает использование и применение с большой пользой обширной научно-технической литературы по системам массового обслуживания.

Итак, будем считать, что поставлена задача исследования сложного человеко-машинного объекта, который, естественно, можно рассматривать как систему,

Как и ранее, в главе 2, множество входов объекта исследования обозначено X(), но теперь, с учетом оговоренного в параграфе 1 общего свойства рассматриваемых систем их динамичности, входы объекта указаны изменяющимися во времени. В общем случае, объект исследования может быть декомпозирован на подсистемы (компоненты), индексы которых на рис.8.2 обозначены 1, ..., k, ..., n, а состояния  соответственно ,...,, ...,. Как выходыY(), так и состояния зависят от временных характеристик, о которых говорилось выше.

Напомним, что в силу оговоренного в пп.1.3 и 1.4 дискретно - непрерывного рассмотрения функционирования системы, входы, состояния и выходы системы нами будут учитываться в дискретные моменты обычного, текущего времени t: 0, ..., , ..., причем удобно учитывать временные интервалы ,, ...,, ... от предыдущей фиксации:

= = (8.2),

= (8.3).

Подчеркнем, что изменения входов, состояний, а, значит, и выходов объекта исследования в течение любого рассматриваемого интервала времени будем считать отнесеннымик правому концу этого интервала.

Относительно объекта исследования как человеко-машинной системы массового облуживания далее условимся:

1. Множество входов объекта X соответственно принятой в теории массового обслуживания терминологии будем называть потоками требований (заявок) X(), поступающих в объект в течение интервала времени.

Математически это означает, что поток требований X(),X(), ...,X(), ... представляет собой упорядоченную по времени последовательность, в общем случае, случайную (кортеж).

2. Функционирование, а именно оно называется обслуживанием, как объекта в целом, так и всех его подсистем (компонентов), можно рассматривать как последовательность во времени некоторых технологических, организационных и каких-либо еще операций над материальными, энергетическими, информационными и другими потоками, составляющих существо входов объекта, т.е. потоков требований объекта.

Будем считать, что каждую такую, в том числе, следовательно, и j-ую операцию, достаточно охарактеризовать начальным и конечнымсостояниями, а также случайными временем ожидания требованием обслуживанияи временем выполненияэтой операции. Аналогично входам, условимся состояния относить к правому концу интервалаобслуживания в любой,j-ой операции. Отсюда следует, что, строго говоря, есть конечное состояние предыду-щей,j-1-й операции, являющееся одновременно начальным состоянием и рассматриваемой, j -ой.

Совокупность операций часто называют процессами, или потоками обслуживания ( хотя термин “поток”здесь не совсем корректен, поскольку потоками обычно называют направленное действие, а технологические, информационные и т.п. действия, составляющие суть операций обслуживания, далеко не всегда имеют направление), а отдельные стадии операции, если таковые целесообразно будет по каким-либо причинам детально учитывать, будем называть фазами обслуживания.

3. Декомпозиция и агрегирование (интеграция) в системах массового обслуживания возможны так же, как и в системах общего вида.

Специфично здесь лишь то, что при агрегировании компонентов и/или элементов в более крупные подсистемы, состояния агрегируемых компонентов ( элементов) можно теперь представить фазами обслуживания более крупной подсистемы, и, наоборот, при декомпозиции обслуживания его фазы в принципе могут быть выделены в отдельные подсистемы, если это окажется целесообразным. Так, если представленную на рис.8.2 систему агрегировать как единый компонент, тогда последовательность , ...,будет соответствовать уже разным фазам обслуживания.

Например, можно рассматривать весь участок прокатного производства при необходимости, в том числе, при недостатке нужной информации о состоянии или функционировании его составных частей: печи, рольганга и т.п., как единый элемент, тогда нагрев, транспортировка, прокатка  будут отдельными фазами обслуживания. И, наоборот, учитывая многостадийность процесса прокатки на отдельных клетях, часто целесообразно прокатный стан рассматривать как сложную систему, а работу его клетей  как однофазные компоненты этой системы.

4. Среди состояний и компонентов исследуемого сложного человеко-машинной объекта, если он рассматривается далее как СМО, особо следует выделить ожидание, отказ и очередь.

Ожидание характеризуется, как уже упоминалось выше, временем w ожидания. Другими словами, из поступления требования на вход системы вовсе не следует, что оно немедленно поступает на обслуживание в какую-нибудь операцию. Понятно также, что такое состояние некоторых или всех компонентов объекта исследования целесообразно выделять особо в силу дискретно -непрерывного характера его функционирования. В рассмотренном примере работы участка прокатного производства простой оборудования является как раз состоянием ожидания следующего периода работы.

Отказ является также особо выделяемой особенностью функционирования человеко -машинной системы, заключающейся в том, что требование, поступившее на вход системы или какой-нибудь его подсистемы, не обязательно обслуживается, а может быть отторгнуто системой без изменения и покинет ее.

Проиллюстрируем отказ на примере приведенного в параграфе 2 участка прокатного производства. Допустим, произошла поломка на прокатном стане и для ремонта пришлось остановить рольганг, подающий нагретые слитки в прокатный стан. Пока производился ремонт стана, слитки остыли ниже температуры проката и потому не могут обрабатываться далее на стане. В таких случаях слитки обычно охлаждаются и отправляются на склад холодняка. Это и есть отказ в обслуживании заготовок как требований, прокатный стан как бы отказал им в выполнении операции прокатки.

Очередь тесно связана с оговоренным выше ожиданием, но выступает не просто как особенность функционирования, факт, а как компонент системы. Понятно, что такому компоненту реально соответствует некоторый элемент ( например, склад хранения) или совокупность элементов системы, которые могут рассматриваться как самостоятельная подсистема. Однако, для нас в рассматриваемом классе человеко - машинных систем важнее не сам факт наличия очереди как подсистемы, а режим функционирования компонентов системы именно как очереди.

Очередь характеризуется, кроме указанного времени ожидания w, числом мест ожидания, подобно, например, числу мест хранения на складе, длиной очереди (т.е. числом занятых мест; таким образом, часть имеющихся мест может оставаться свободной, и это может быть небезразличным для поставленной задачи исследования данного объекта и потому требовать учета), а также дисциплиной обслуживания.

Дисциплина обслуживания обычно указывается текстовым предложением, т.е. представляется семантически, описательно, поскольку дисциплина обслуживания реализуется далее в математической модели системы алгоритмически. Приведем наиболее распространенные и часто используемые следующие виды дисциплин обслуживания:

• Первым пришел  первым обслужен.

Эта дисциплина соответствует обычной, “живой” очереди и в отдельных комментариях, вероятно, не нуждается. В приведенном примере участка прокатного производства очередью с такой дисциплиной обслудивания можно рассматривать рольганг как транспортное средство, а также методическую нагревательную печь толкательного типа, поскольку в ней заготовки в силу самого способа перемещения материала движутся к месту выгрузки в том порядке, в каком они загружались в печь.

• Последним пришел  первым обслужен.

Такая дисциплина обслуживания характерна для складских помещений погружного типа, а также для складов, в которых погрузочно - разгрузочные работы выполняются автокарами. Если на складе есть свободное место, то автокар с целью оптимального использования помещения склада вначале выгружает материалы в глубине склада, а уж потом  на оставшееся, хотя и более близкое к въезду в помещение, свободное место. Когда же нужно взять материал для дальнейшей переработки, автокар не может взять тот материал, который поступил на склад раньше, поскольку подъезд к нему завален позднее загруженным материалом, поэтому автокар может взять только его.

• Обслуживается любой, независимо от времени поступления.

Эта дисциплина обслуживания свойственна хранилищам, обслуживаемым кранами, например, мостовыми. Кран движется над материалом и потому может взять материал из любого нужного места ( понятно, если материал загружен в один слой, иначе получается комбинированный с предыдущим случаем вариант).

• Обслуживание по приоритетам.

Некоторые требования в очереди, снабженные специальными признаками, приоритетами, обслуживаются немедленно, остальные, не имеющие подобных признаков,  в соответствии с общей дисциплиной обслуживания, предусмотренной в предыдущих пунктах. Понятно, что дисциплина “обслуживается любой” эквивалентна случаю, когда все требования имеют равные приоритеты.

5. Укажем также, что в принципе в структуре системы может существовать несколько параллельно функционирующих последовательностей операций с одинаковыми дисциплинами обслуживания и сходными технологическими режимами. Каждую такую параллельную последовательность называют каналами обслуживания.

Так, на схеме объекта, представленной на рис.8.2, каналами обслуживания являются аппараты , ...,, если у них обслуживание требований идентично.

Отметим, что часто распараллеливание каналов обслуживания в системах производится с целью увеличения производительности объекта в целом за счет использования технологически однотипных агрегатов с одинаковыми режимами функционирования, тогда требования могут обслуживаться в любом из таких параллельных каналов. В таких случаях однотипные элементы в системах массового обслуживания называют “приборами” ( и вовсе не потому, что имеются ввиду приборостроительная или машиностроительная отрасли и функционирующие в них производственные системы) и аппаратами. Мы будем далее преимущественно использовать последний термин.

6. Выходы объекта, рассматриваемого как система массового обслуживания, аналогично входам представим выходными потоками. Они характеризуются случайными последовательностями временных интервалов ухода , равными временам пребыванияi-го требования в системе обслуживания (другие переменные выхода Y при этом учитываются, аналогично входам и состояниям, соответстующими правым концам этих интервалов).

Как выходы системы обычно учитываются также изменения потоков ожидания и длин очередей, хотя бы такие изменения относились к внутренним компонентам и внутренним связям и потому формально относились бы к состояниям объекта или его компонентов, а не обязательно только к конечным. Напомним, что подобное объединение возможно потому, что изменения потоков ожидания и длин очередей объединены общим признаком  являются так же, как и выходы, результатом функционирования самой системы. Такое объединение переменных состояния и выходов системы как зависящих от ее функционирования широко используется, например, в автоматизированном планировании экспериментальных исследований объектов, являющихся техническими системами (по системной классификации).

7. В общем случае исследуемый человеко-машинный объект может содержать в своем составе среди элементов и компонентов (подсистем) и такие, которые на самом деле являются техническими системами.

Будем считать, что при рассмотрении объекта как системы массового обслуживания такие элементы и компоненты достаточно описывать временем обслуживания , входом и выходом, т.е. их структуру в подавляющем большинстве случаев можно учитывать как “черные ящики”. Вполне допустимое отступление от этого будем расценивать скорее как исключение, не влияющее, как мы увидим далее, на методологию моделирования сложных человеко - машинных систем, в том числе с привлечением теории массового обслуживания.