2

По абсолютной величине

d

Рис. 1. Физический маятник.

Вектор M имеет такое направление, при котором маятник стремится вернуться в положение равновесия (на рис.1 вектор M направлен от нас), и в этом отношении он аналогичен квазиупругой силе. Поэтому, так же как линейному смещению и квазиупругой силе в случае колебаний пружинного маятника, моменту M и угловому смещению φ при колебаниях физического маятника нужно приписывать противоположные знаки.

Применяя основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

(4)

к физическому маятнику, можем написать дифференциальное уравнение:

Iϕ = −mgd sin ϕ, (5) где черезϕобозначен модуль углового ускоренияε = d 2ϕ / dt 2 ; I - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

При малых углах отклонения sin ϕ ≈ϕ, и уравнение (2) переходит в уравнение гармонических колебаний:

Его решение имеет вид:

3

где φ0 – максимальное отклонение маятника от положения равновесия (амплитуда колебаний); α – начальная фаза колебаний;

- циклическая частота колебаний физического маятника.

Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы m

маятника, его момента инерции I относительно оси вращения и расстояния d между осью вращения и центром масс маятника.

Период малых колебаний физического маятника:

Из сравнения формулы (9) с формулой (1) для периода колебаний математического маятника следует, что математический маятник длиной

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину lпр

называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Точка, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром масс С (см. рис. 2), называется центром качания физического маятника (точка О' на рис. 2). При подвешивании маятника в центре качания О' приведенная длина lпр сохраняется, а значит, и период колебаний Т будет тем же, что и при подвешивании маятника в точке О. Следовательно, точка подвеса и центр качания являются сопряженными, т.е. обладают

4

свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

O

d

lпр

C

d ´

O´

mg

Рис. 2. Приведенная длина физического маятника.

На этом свойстве физического маятника основан способ определение ускорения свободного падения. Этот способ был предложен английским метрологом Генри Катером в 1818 году. Метод Катера основан на свойстве взаимности точки подвеса и центра качания: при последовательном подвешивании маятника в этих точках его период остается неизменным. Для любого физического маятника всегда можно указать две такие сопряженные точки. Соответственно такой маятник называется оборотным.

Оборотный маятник имеет две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, на которые он может быть поочередно подвешен. Вдоль маятника могут перемещаться два груза. Последовательным перемещением грузов можно добиться того, чтобы при подвешивании маятника на любую из опорных призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между призмами будет равно lпр.

Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, при котором периоды колебаний оборотного маятника T и T ′ около осей вращения O и O´совпадают и равны

T0 :

5

где I 0 - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс. Решая совместно (11) и (12) и исключая I0 и m, получим формулу для определения g:

Следовательно, измерив период колебаний маятника Т0 и зная lпр, можно найти ускорение свободного падения g.

Выясним, как зависит погрешность определения T0 от соотношения между d и d΄, если Т отличается от Т0. Для этого возьмем дифференциал от левой и правой частей

Из формулы (15) видно, что чем больше величина отношения d΄/ d, тем меньше

погрешность в определении Т0. Таким образом, период колебаний следует измерять так, чтобы d΄ и d различались, по крайней мере, в 1,5 раза. Отношение d΄/ d не должно быть также слишком большим. Поскольку d´ всегда меньше расстояния между O и O (см.

6

рис.2), при большом отношении d΄/ d величина d оказывается слишком малой и погрешность в определении периода колебаний резко возрастает.

В данной работе используется оборотный маятник, схематично изображенный на рис. 3. На металлическом стержне жестко закреплены втулки с опорными призмами (подвесы), которые в ходе проведения работы не перемещаются - расстояние между ними фиксировано. Также фиксировано и положение чечевицы А. Вторая чечевица В может перемещаться по стержню.

Рис. 3. Оборотный маятник с подвижной чечевицей.

Маятник подвешивают последовательно в двух точках подвеса и, двигая в заданном интервале x (рис. 3) подвижную чечевицу В (изменяя тем самым положение центра масс маятника), определяют период его колебаний. В результате получаются две серии измерений периода колебаний Т (в прямом и перевернутом положениях маятника) в зависимости от положения х чечевицы В. Получаемые зависимости Т = f(x) имеют общую координату – это и есть точка сопряжения. Период колебаний в этой точке для двух положений маятника одинаковый (Т = Т ´=Т0). Зная эту величину и расстояние между точками подвеса, равное приведенной длине данного оборотного маятника, можно рассчитать значение ускорения свободного падения по формуле (13).

7

3. Описание экспериментальной установки

Общий вид экспериментальной установки для определения ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника представлен на рис.4.

Рис. 4. Общий вид установки.

Оборотный маятник 1 устанавливается на стойке 2 с двумя металлическими стержнями с помощью треугольных зажимов 3 и 4 и опорных втулок 5 и 6. Установка снабжена счетчиком колебаний, включающим в себя фотоэлектрический датчик 7,

8

который крепится с помощью прямоугольного зажима 8 на треножнике 9. Треножник

оснащен регулируемыми ножками 10. Неподвижная 11 и подвижная 12 чечевицы

фиксируются на штанге 1 с помощью зажимных винтов. Показания счетчика считываются

с дисплея универсального миллисекундомера (на рисунке не показан), с которым

соединен фотоэлектрический датчик. Расстояние между опорными втулками измеряется с

помощью измерительной рулетки.

4. Порядок выполнения работы

Лабораторную работу следует проводить, строго соблюдая правила техники

безопасности и охраны труда, установленные на рабочем месте студента в лаборатории.

4.1.Соберите установку как показано на рис. 4. Треугольные зажимы 4 закрепите на одинаковой высоте с тем, чтобы масса маятника равномерно распределялась на обе точки опоры. Для точного измерения ускорения свободного падения стол должен находиться в устойчивом положении. Подвешивание маятника в прямом и перевернутом положениях осуществляется соответственно при помощи опорных втулок 5 и 6. Втулки необходимо прикреплять на расстоянии 7-10 см от концов штанги маятника 1.

4.2.Расположите опорные втулки так, как показано на рис. 4, расстояние между опорными втулками указано в индивидуальном задании. (Внимание! Положение втулок в дальнейшем не меняется в течение всего времени проведения опыта).

4.3.Зафиксируйте чечевицы на штанге 1 несимметрично – одна должна находится вблизи конца штанги (неподвижная чечевица), другая примерно посередине (подвижная чечевица).

9

4.4.Выберите для фотоэлектрического датчика режим «измерение периода» (правое положение переключателя). Установите датчик в точке, где амплитуда колебаний маятника будет максимальной. Период колебаний маятника определяется для малых амплитуд колебания (не более 6о).

4.5.Отклоните маятник на 4-5 о и определите период колебаний Т, когда опорная втулка 5 служит осью вращения. Измерьте время между двумя последовательными фазами колебаний в моменты, когда маятник выходит из инфракрасного луча фотодатчика. Это время является периодом колебаний Т.

4.6.Не меняя положения чечевиц, перевесьте маятник на опорную втулку 6 и определите период Т ´, повторив все действия п.4.5.

4.7.Далее, передвиньте подвижную чечевицу на одно деление, нанесенное на штанге (величина х на рис.3), и снова определите период колебаний маятника, когда ось вращения проходит через втулки 5 и 6. Необходимо провести измерения для 7-9 положений подвижной чечевицы. Результаты измерений занесите в таблицу 1.

…

5.Обработка результатов эксперимента

5.1.По результатам измерений построить графики зависимостей периодов колебаний Т и Т ´ относительно обеих осей (в прямом и перевернутом положениях маятника) от расстояния х.

5.2.Найти точку пересечения обоих графиков (соответствующую равенству периодов колебаний Т и Т ´ ), что позволяет установить величину периода Т0.

5.3.Рассчитать ускорение свободного падения g по формуле (13).

5.4.Оценить относительную погрешность косвенного определения g по формуле:

10

5.5. По полученным значениям g и δg вычислить абсолютную погрешность определения g по формуле:

Dg = δg × g .

5.6. Окончательный результат определения g представить в виде:

g = g ± g

6. Библиографический список

а) основная:

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.1. Механика. М.: Астрель.АСТ. 2006, с.125-129, с.157-159.

2.Капуткин Д.Е., Шустиков А.Г. Физика. Обработка результатов измерений при выполнении лабораторных работ. (№ 805). М.: МИСиС. «Учеба». 2007.-108с.

б) дополнительная:

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1 М.: Физматлит. 2004. – 576с.

4.Иродов И.Е. Основные законы механики Т.1 М.: Высшая школа. 1985. – 248с.

7. Контрольные вопросы

1.Что называют математическим маятником?

2.Чем физический маятник отличается от математического?

3.Вывести уравнение малых собственных колебаний физического маятника. Какой вид имеет общее решение этого уравнения?

4.Что такое центр качания физического маятника?

5.Что такое приведенная длина физического маятника?

6.Что такое сопряженные точки физического маятника? Каким свойством они обладают?