1. Цель домашнего задания

Научиться составлять полные и дробные факторные планы первого порядка

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И МЕТОДИКА

После стадии предпланирования, на которой выбирают параметры оптимизации (показатели качества, зависимые переменные) и факторы (независимые переменные) переходят к основной задаче эксперимента: установлению закономерностей влияния вторых на первые. Результатом этой стадии эксперимента обычно является построение зависимостей параметров оптимизации от факторов. Эти зависимости носят как правило эмпирический характер и выражаются в виде уравнений:

Y₁ =(X₁ ,X₂ ,...X_n )

Y₂ =(X ₁,X₂ ,...X_n )

...............

Y_k =(X₁ ,X₂ ,...X_n )

где n- число факторов, k- число параметров оптимизации

Эти уравнения в многомерном пространстве факторов (факторном пространстве) имеют некоторый геометрический образ (поверхность отклика). Получение представлений об этой поверхности и составляет задачу эксперимента. Как правило, задачи являются экстремальными, т.е. необходимо установить такую комбинацию факторов, при которой наиболее важные параметры оптимизации имеют максимальное значение.

Выделяют два типа таких задач:

1. область максимума известна, в этом случае строят поверхность отклика (математическую модель), как правило в виде полинома,

2. поверхность отклика практически неизвестна, и в этом случае необходимо определить область, где находится максимум, предварительно строя линейную модель.

Одним из наиболее эффективных методов решения этой задачи является метод крутого восхождения. В этом методе задача решается поэтапно. Сначала, варьируя в каждом опыте всеми факторами в небольшом диапазоне, исследователь ищет лишь направление движения к области экстремума, строя линейную модель (уравнение 6.1). Анализ линейного уравнения позволяет наметить направление движения из исходной точки к экстремуму, т.е. определяют направление градиента для данной апроксимирующей плоскости. Сделав несколько опытов в направлении градиента, выбирают точку с более высоким значением параметра оптимизации. Одной серии может быть недостаточно, поэтому проводят несколько серий, а достигнув области экстремума строят нелинейную модель поверхности отклика. Используя нелинейное уравнение (полином) можно определить координаты (комплекс значений факторов) экстремума. При "классическом эксперименте" (варьирование одним фактором) оптимум можно и не найти, особенно при большом количестве факторов.

Для построения линейной модели (6.1) обычно используют двухуровневые факторные планы. Основными элементами факторных планов являются: центр плана X (все факторы находятся на среднем или нулевом уровне); диапазоны варьирования всех факторов X; верхние уровни всех факторов X_max=X₀ +X; нижние уровни всех факторов X_min =X₀-X. В 2-х уровневых планах все факторы находятся на верхнем и нижнем уровне. В этом случае разным факторам независимо от размерности дают кодовые значения +1 и -1 (верхний и нижний уровень). Для каждого опыта все эти элементы записывают в виде специальной таблицы, так называемой матрицы планирования факторного эксперимента (табл. Д.1).

Очевидно, что при 2-х факторах и 2-х уровнях все возможные комбинации исчерпываются в 4-х опытах, поэтому составление матрицы планирования не вызывает затруднений (опыты 1-4 в табл.Д.1). Чтобы составить 3-х факторный план следует повторить предыдущую матрицу при значении X = +1 и -1, т.е. общее число опытов N составит 8.

Аналогично происходит построение матрицы планирования и при большем количестве факторов (к). Общее число опытов в этом случае определяется по формуле N=2 , из чего следует сильное увеличение N с ростом к. Например, при 6 факторах матрица полного факторного эксперимента включает 64 опыта, что обычно находится за пределами целесообразности.

Поскольку для определения коэффициентов модели число опытов должно превышать (к+1), что намного меньше числа опытов полного факторного эксперимента, при большом количестве факторов обычно используют дробные факторные планы (реплики). Для их построения используют так называемые генерирующие соотношения, которые показывают с каким эффектом смешан данный эффект. Например, в случае 4-х факторов полуреплика с генерирующим соотношением X₄ =X₁ X₂ X₃ , имеет матрицу планирования, приведенную в табл. Д.1. В этом случае по результатам эксперимента можно построить уравнение:

Y= b₀ +b₁ X₁ +b₂ X₂ +b₃ X₃ + b₄X₄ , (Д.1)

Данный дробный факторный план имеет 3 степени свободы (N-к-1=8-4-1), что для метода крутого восхождения вполне достаточно. Расчет коэффициентов этого уравнения рассмотрен в лаб. работе N6.

Таблица Д.1

Построение матрицы планирования для полного (2³) и дробного (2^4-1) факторного планов

N	X1	X2	X3	X4=X1X 2X3	Y
1	+	+	+	+	Y1
2	+	-	+	-	Y2
3	_	+	+	-	Y3
4	-	-	+	+	Y4
5	+	+	_	-	Y5
6	+	-	_	+	Y6
7	_	+	_	+	Y7
8	-	-	_	-	Y8