Флуктуации в радиофизике.

Осциллограммы шума (а) и синусоидального сигнала (б).

 Идеальный синусоидальный сигнал:

U(t) = U₀ sin(₀t + ₀) (1)

Амплитуда U₀ и фаза ₀ – постоянные величины

Реальный синусоидальный сигнал

U(t) = U₀(t) sin[₀t + ₀(t))] (2)

Амплитуда U₀(t), фаза ₀(t) и угловая частота  = 2f= d(₀t + ₀(t))/dt являются случайными функциями времени.

2. Способы описания шумов

 Пусть x(t) – зависимость от времени случайной величины, (тока, напряжения или сопротивления образца) – реализация случайного процесса. Случайная величина x(t) в общем случае может принимать действительные значения от -∞ до +∞ с заданным распределением вероятностей.

 Наиболее важной вероятностной характеристикой случайного процесса x(t) является одновременная плотность вероятности .

 dx есть вероятность того, что в момент времени t случайный процесс принимает значение, лежащее в интервале dx вокруг значения случайной величины x.

 Шумы подразделяются на статистически стационарные и нестационарные.

 Для статистически стационарных процессов не зависит от времени и справедлива эргодическая гипотеза, согласно которой среднее по ансамблю равно среднему по времени.

 Для стационарных процессов одновременная плотность вероятности не зависит от времени.

Плотность вероятности гауссова (нормального) распределения имеет вид:

,

где (x – ) – отклонение от среднего значения) флуктуирующей величины,– дисперсия.

Функция плотности вероятности гауссова (нормального) распределения случайной переменной x.

Спектральная плотность мощности шума.

Для описания шумов вводят понятие спектральной плотности мощности (СПМ) шума:

Вт/Гц, (3)

где P (f) - усредненная по времени мощность шума в полосе частот f на частоте измерения f.

 Зависимость СПМ шума от частоты называют энергетическим спектром.

 Если измеряют шумовое напряжение или ток, тогда СПМ шума выражают в В²/Гц или А²/Гц, а СПМ флуктуаций напряжения S_U(f) или тока S_I(f) определяют через их среднеквадратичные значения или :

(4)

 Относительная СПМ флуктуаций напряжения:

, 1/Гц. (5)

 Мощность шума в полосе частот f₁…f₂ , равна

 Если на линейном элементе имеются два (или более) независимых источника шумов U₁(t) и U₂(t), то суммарное среднеквадратичное напряжение шума равно: (6)

Автокорреляционная функция и теорема Винера-Хинчина

 Корреляционная функция K() случайных

величин x(t) и x(t+) определяется:

, (7)

где  – сдвиг во времени

 Для стационарного случайного процесса

K() = K(-) (8)

• Энергетический спектр S_x() стационарного

случайного процесса определяется как

преобразование Фурье от K():

, (9)

где  = 2f – угловая частота.

 Корреляционная функция, в свою очередь, есть обратное преобразование Фурье от СПМ шума S_x (f).

(10)

Или:

(11)

• При  = 0 и при из (11) получим

дисперсию случайной величины x(t):

=.(12)

Корреляционная функция стационарного случайного процесса.

Cвойства автокорреляционной функции:

1) K() является четной функцией временного сдвига ,  так что K() = K(-). Это следует из определения стационарного случайного процесса, т.е. из условия независимости его характеристик от начала отсчета.

2) K() зависит только от разности аргумента  = t ₂ – t₁. 

3) K() максимальна при  = 0, т.е. K(0) ≥ K(). Если интервал временного сдвига стремится к нулю, флуктуации становятся одинаковыми, и корреляционная функция равна дисперсии.

4) среднее значение (m₁)² = K(∞). Для многих физических процессовK()0 при τ+ ∞ и τ- ∞ Объясняется это тем, что многие физические процессы имеют конечное время последействия флуктуаций, которое характеризует связь между значениями случайной функцииx(t) в предыдущие и последующие моменты времени.