ЛЕКЦИИ ФШФС_2007 / ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УМК / Каминский А_В_ Артефакт или закономерность

Каминский А.В. Артефакт или закономерность? .text { MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; TEXT-INDENT: 30px; FONT-FAMILY: Times New Roman; TEXT-ALIGN: justify } .vst { FONT-WEIGHT: bold; FONT-SIZE: 12pt; FONT-FAMILY: Times New Roman; TEXT-ALIGN: center }

Другие работы автора

Каминский А.В.

Артефакт или закономерность? Показано, что на основе изучения статистических закономерностей, обнаруживаемых в естественных природных процессах может быть получена ценная информация о фундаментальных свойствах нашего мира. На основе алгоритмической модели анализируется возможная связь эмпирического закона Бенфорда с проблемой происхождения фликкер шума.

1. Бич экспериментатора

Экспериментаторам v физикам, биологам, химикам, а так же многим специалистам в других областях знания, занимающихся экспериментом хорошо знакома ситуация, когда придя утром на работу в хорошем настроении, выпив чашечку кофе и приготовившись провести новую серию измерений, они вдруг обнаруживают, что что-то не ладится. Приборы "шалят", измерения дают недопустимо большой разброс. И самое печальное здесь то, что причина этого неизвестна. Еще вчера все работало, а сегодня...

Одни при этом хватаются за гаечный ключ и начинают подкручивать гайки в своей аппаратуре, другие поступают более мудро и выпив еще по чашечке кофе отправляются домой. И только немногие начинают искать причину этого "безобразия". И как правило ее находят. Это может быть внезапно повысившийся шум пленочного резистора в схеме усилителя, неизвестно откуда идущие радиопомехи, повышенный фон космических лучей, просто окислившийся контакт или любая другая незначительная причина. В большинстве случаев, после устранения этой причины, аппаратура вновь начинает работать. И тогда, провозившись весь день в поисках неисправности, уставшие но довольные мы возвращаемся домой чтобы завтра возобновить эксперимент. Однако, придя утром следующего дня в лабораторию и "прозвонив", прежде чем выбросить, забракованные намедни детали, мы обнаруживаем, что резистор вовсе не "шумит", и транзистор вполне исправен. И тогда, возникает неприятное ощущение зря потерянного времени. Поразмыслив, проницательный исследователь поймет, что причина вчерашнего "плохого" поведения аппаратуры была в другом. У найденой "неисправности" на самом деле по-видимому была другая "настоящая" причина, а у этой "настоящей" причины, возможно, могла быть еще третья "еще более настоящая" и.т.д. Одним словом, возможна целая цепь связанных случайных явлений - некая макроскопическая флуктуация, которая рано или поздно должна была произойти и, по-видимому, произошла. Заменив резистор, мы не устранили причину зла, а просто разорвали причинно-следственную цепочку. В результате чего аппаратура и заработала. Но в большинстве случаев, через некоторое время она заработала бы и без всякого вмешательства. Конечно, приведенная интерпретация весьма спорна ибо вероятность макроскопических флуктуайий крайне мала и описывается числами порядка ~eN, где N v число атомов в системе. Однако, здесь мы не говорим о таких "грубых" проявлениях флуктуаций в результате которых может подпрыгнуть лежащий на земле кирпич или во время дают зарплату. Мы имеем в виду более тонкие эффекты, которые могут проявиться как отклонение от нормы некоторых статистических свойств измеряемых сигналов.

Ниже мы покажем, что происхождение подобных артефактов может иметь отношение к очень глубоким вопросам мироустройства. Прежде чем приступить к нашему исследованию, напомним читателю ряд положений из области физики и математики, необходимых для понимания дальнейшего материала.

2. Гипотеза Больцмана

Мы живем в мире далеком от теплового равновесия. Соответственно и энтропия нашего мира (если вообще можно говорить об энтропии мира в целом) много меньше своего максимального значения. Но почему мы живем именно в неравновесном мире? Этот вопрос снимается так называемым антропным принципом, согласно которому физические условия в равновесном мире были бы непригодны для возникновения самой жизни. А если бы даже и были пригодны, то мы все равно, наверное, умерли бы от скуки!. Но антропный принцип не может ответить на вопрос что же вывело мир из равновесия? Кто дал первый толчок? Кто сжал пружину мироздания? Попытку самосогласованного решения этой проблемы предпринял Больцман в своей знаменитой флуктуационной гипотезе. Суть ее состоит в том, что наш мир рассматривается как макросистема, флуктуирующая около своего равновесного состояния. Очевидно, большую часть времени он находится в состоянии с энтропией близкой к максимальной. Но всегда имеется отличная от нуля вероятность большой флуктуации. Больцман предположил, что наш мир и мы сами являемся результатом этой гигантской флуктуации. Несостоятельность этой гипотезы на современном уровне знания очевидна. Современная космология в основе которой лежит теория большого взрыва не оставляет места флуктуационной гипотезе в ее первоначальном виде. Однако, простота и внутреннее совершенство этой идеи до сих пор будоражат воображение исследователей.

Не смотря на то, что со времен Больцмана физика значительно шагнула вперед, основной вопрос касающийся необратимости до сих пор не решен. Этот вопрос обычно формулируют в форме парадокса Лошмидта. Известно, что все уравнения физики симметричны относительно обращения времени. Значит, любое состояние системы с энтропией S<Smax могло равновероятно возникнуть как из состояния с меньшей так из состояния с большей энтропией. А это, в свою очередь, означает, что мы не можем обосновать эмпирический закон возрастания энтропии на основе наших научных знаний. Если бы мир был столь же механистичен, как мы его описываем в наших уравнениях, то он должен был бы периодически возвращаться к своему исходному состоянию, наподобие часов, стрелки которых два раза в сутки встречаются на 12 часах. Это так называемый парадокс возвратов Пуанкаре. Но давайте зададимся вопросом v в чем источник этих парадоксов?. Ответ лежит на поверхности. Это прежде всего наше безответственное и некорректное перенесение эмпирического закона возрастания энтропии на весь мир. Мы не имеем права объективировать то, что по своей сути субъективно. Мир же, который мы воссоздаем в наших теоретических моделях построен на основе наблюденй субъекта. И фактор этой неустранимой субъективности должен быть отражен в теории. Квантовая механика совсем недвусмысленно дает нам об этом знать, но мы то-ли не хотм, то ли не знаем как воспользоваться ее "намеками". Если кто-нибудь на это возразит, что дескать наши приборы дают объективное знание о мире, то ему следует напомнить, что приборы эти сконструированы нами и это просто инструмент посредством которого мы задаем природе вопросы. Но вопросы эти тенденциозны, а ответы на них интерпретируются субъективно. Это, конечно, не означает, что наше представление о мире не имеет ничего общего с реальностью. Более того, мир, как мы его видим, является отражением этой реальности. Просто нельзя забывать о том, что это отражение весьма специфически деформировано. И это искажение отражается нами в формулируемых физических законах. В частности, можно показать, что второй закон термодинамики с неизбежностью возникает, как закон физики, которую сформулировал бы субъект замкнутого изолированного мира. Таким образом, проблема упирается в ряд основополагающих вопросов и понятий категориального характера. А именно, нам необходимо ответить на вопросы о континнуальности или дискретности физического мира, о сущности времени, о статусе случайности и закономерности. Успех же в решении этих вопросов в значительной степени будет зависеть от правильного понимания роли субъект-объектной структуры мира.

3. Случаен ли исход бросания монеты?

Так поставил вопрос профессор физики технологического института штата Джорджиа в одноименной статье, опубликованной им в журнале Physics Today в 1983 году. Повторим и мы вслед за автором основной ход рассуждений.

Предположим что природа континнуальна. Это означает, что природа "рассчитывая" траекторию системы в фазовом пространстве оперирует с бесконечным объемом информации. И хотя этот вывод вряд ли может быть осмыслен, никого это не пугает,- математики привыкли обращаться с бесконечными числами и с легкостью иллюзиониста, жонглируют ими то пряча в рукав, то доставая из кармана пиджака своего опонента. Физики в последнее время тоже освоили это ремесло. Мы имеем в виду метод перенормировок в квантовой теории поля. Но все это смахивает больше на шуллерство. Очевидно, что строить солидное здание теории на таком зыбком фундаменте бессмысленно, поэтому нужно укреплять фундамент.

Зададимся вопросом - есть ли в непрерывном мире место для истинной случайности? И да и нет. С одной стороны, поведение системы предопределено и однозначно описывается дифференциальными уравнениями. С другой стороны, человек не способен оперировать бесконечной информацией. И поэтому не может задать начальные условия и просчитать динамику с достаточной точностью. Поэтому, для человека должна иметь место истинная случайность. Однако, это рассуждение недостаточно научно. И вот почему. Зададимся вопросом - почему человек, как часть непрерывной континуальной природы, и сам вероятно являющийся таковым, не должен уметь оперировать бесконечными числами? Математика свидетельствует об обратном. Вспомним задачку иллюстрирующую свойство бесконечных множеств. В этой задаче требуется доказать, что число точек на отрезках различной длины одно и то же. Решение очень простое. Достаточно взглянуть на рисунок из которого видно, что каждая точка большего отрезка AB взаимно однозначно отображается на точку меньшего отрезка CD и наоборот. Более того, на бесконечной прямой столько же точек сколько на отрезке. Это означает, что, в предположении континуальности, человек и природа равномощны, и весь мир, может быть биективно отображен на человека. Казалось бы в таком понимании человек не должен уступать природе в ее таланте. Однако, легко видеть, что это не так. Нам далеко до способностей демона Максвелла, мы не можем предсказывать будущее и даже бросая монету, мы не можем сказать выпадет ли "орел" или "решка". Для нас эти события истинно случайны. Мы можем говорить лишь о вероятности той или иной реализации. И похоже, что это ограничение принципиального характера.

Конечно, это рассуждение не достаточно строгое и едва ли на его основе можно делать вывод о дискретном строении нашего мира. Но такой взгляд начиная с Демокрита и кончая современными теоретическими построениями в которых дифференциальные законы постепенно вымещаются дискретными алгебраическими конструкциями все чаще дает о себе знать.

Автор упомянутой статьи так же предлагает "вычеркнуть" из континуума невычислимые и иррациональные числа, обладающие положительной сложностью по Колмогорову. "Так же нужно исключить бесконечно большую и бесконечно малую величины, после чего числовой континуум сведется к ограниченному конечному точечному множеству, которое, не уменьшая общности, можно принять за некоторое конечное множество целых чисел." и далее он пишет "Именно это числовое множество напрашивается на роль основы для пересмотра физических теорий".

Предположим, что мир конечен и каждое его состояние описывается числом с нулевой сложностью. Человеку, как части этого мира в принципе не доступна вся "шкала" состояний мира. Некоторые из чисел, описывающих эти состояния будут для него трансфинитны, а некоторые невычислимы. Такое предположение приводит к строгому индетерминизму. Случайность результата игры в орлянку будет обоснована. Мир для субъекта будет казаться индетерминистичным и он никогда не сможет опровергнуть эту кажимость. Эту ситуацию мы называем физической неполнотой. Этот вопрос подробно рассмотрен в статье автора "Алгоритмическая модель мира". В работе показана плодотворность такого подхода. Показано, что на основе единственного предположения о конечности мира, приводящего к субъективной физической неполноте может быть обоснована статистическая и квантовая механика, обнаружены новые связи между физическими явлениями. Однако, такой подход требует очень серьезного философского переосмысления наших представлений о природе.

4. Алгоритм генерации псевдослучайной последовательности как модель мира.

Рассмотрим алгоритм, сдвигающий в каждый момент времени N- разрядное двоичное слово на один знак вправо, так, что младший разряд при этом теряется, а старший образуется в результате сложения по модулю 2 m-го и n-го разрядов слова. Алгоритм реализует, так называемую, последовательность максимальной длины с числом состояний 2N-1, если полином Xn+Xm+1 неприводим на поле Галуа GF(2N). Так при N=10 последовательность максимальной длины реализуется только при n=10 и m=7. Ее длина равна 1023 состояниям. Этот алгоритм широко используют в технике для генерирования шумовых сигналов или последовательностей случайных чисел. Вероятность данного конкретного состояния определим, как число появлений этого состояния к полному числу состояний реализуемых за один цикл. В течение одного цикла, состоящего из 2N-1 шагов ни одно состояние не повторяется дважды. Это означает, что все состояния равновероятны, а распределение вероятностей v плоское. Энтропия такого конечного "мира" определиться следующим тривиальным образом:

Рассмотрим теперь подсистему нашего модельного мира. Пусть для описания этой части мира достаточно M v двоичных разрядов, где M<N. Рассматриваемая подсистема будет иметь 2M состояний. Легко понять, что если как мы уже говорили, состояния мира за время полного цикла не повторяются, то есть динамика системы эргодична, то состояния подсистемы могут повторяться. При этом некоторые из состояний могут появляться чаще других. Следовательно, распределение вероятностей состояний подсистемы будет уже не плоским. Энтропия подсистемы в общем случае может быть вычислена по формуле Ма:

(1)

Здесь mi v число появлений i-го состояния за N- итерраций.

Последовательность максимальной длины является дискретным сигналом s(t), который в силу своей периодичности и ограниченности спектра сверху, согласно теореме Котельникова, может быть заменен непрерывным сигналом со спектром:

(2)

где w0 =2p/Tмира v фундаментальная частота. В дальнейшем мы будем называть сигнал s(t) мировой функцией. Спектр этого сигнала представляет собой частокол линий в частотном диапазоне:

2p/Tмира<w <2p٠2N-1/Tмира (3)

Если отождествить верхнюю границу частоты с величиной обратной Планковскому времени, можно получить оценку на число состояний нашего физического мира.

Форма огибающей спектра описывается функцией вида F(x)=(sinx/x)2, где x=pf/f0. Мы видим, что спектральная плотность возрастает с уменьшением частоты. Это характерно для спектра фликкерных флуктуаций. (Г.Н.Бочков, Ю.Е.Кузовлев "Новое в исследованиях 1/f шума" УФН, т 141, вып 1, стр. 151). Фликкер шумом или мерцающим шумом называют сигнал, спектральная плотность интенсивности которого подчиняется закону f-g, где g близко к 1. Типичная кривая спектральной плотности интенсивности сигнала приведена на рисунке 2 ниже.

В нашем случае характер этой зависимости непосредственно вытекает из аксиомы о конечности "мира". При N-¥ очевидно получим спектр белого шума. Ниже мы еще вернемся к этому вопросу подробнее.

На основании сказанного можно выдвинуть несколько необычную гипотезу о том, что фликкерная составляющая шумов в реальных физических процессах может быть обусловлена конечностью нашего физического мира.

С увеличением временного масштаба, все более и более крупные флуктуации вносят свой вклад в спектральную плотность сигнала. При переходе к большим временным масштабам система испытывает соответственно и большие отклонения от равновесия. Экспериментаторы отмечают отсутствие насыщения даже на очень низких частотах. В настоящее время проведены измерения вплоть до частот ~1e-7 Гц., а это означает, что либо процесс ответственный за происхождение фликкер-шума, вообще не имеет никакого характерного верхнего масштаба времени, либо этот масштаб необычайно велик. Логично предположить, что на основной частоте w0 =2p/Tмира в спектре проявляется наибольшая возможная в конечном мире флуктуация. Это флуктуация Больцмана, которую мы воспринимаем, как наш мир, рожденный в большом взрыве.

5. Тонкая структура корреляций в модели конечного мира

Конечность мира приводит и к другим интересным следствиям. Так любой процесс, рассматриваемый в таком мире уже не будет случайным. И это может быть выявлено при исследовании корреляционных моментов достаточно высокого порядка. Очевидно так же, что на малых временных масштабах статистические свойства будут приближаться к идеальной случайности.

Другим проявлением конечности мира может быть нарушение закона больших чисел. Представьте, что подбрасывая монету, у вас 10 раз подряд выпал "орел". Обыватель, не знакомый с теорией вероятности обычно считает, что вероятность того, что и в одиннадцатый раз выпадет "орел" крайне мала. Но согласно классической теории вероятностей каждое испытание независимо и поэтому вероятность того, что еще раз выпадет "орел" та же самая, что и при первом бросании, и в случае идеальной монеты равна ½.

Если же мир конечен, то этот вывод уже не справедлив и скорее прав обыватель. Вероятность по мере бросания монеты в этом случае, действительно, будет меняться. Однако, этот эффект весьма мал и едва ли может быть замечен в "экспериментах" с монетой. Однако, специально поставленные эксперименты возможно внесут ясность в этот вопрос. В нашей модели мира v генераторе псевдослучайных чисел это находит свое отражение. Пусть младщий бит генерируемого случайного слова имитирует бросание монеты. Отождествим: 1 v "орел", 0 v "решка". Проведя небольшую серию испытаний, нам может показаться, что результаты случайны. Однако, наши выводы поспешны. Проведем длительную серию испытаний, сравнимую со временем существования нашей модельной вселенной. И подсчитаем количества выпавших нулей и единиц. Вскоре мы обнаружим, что число нулей почемуvто всегда в точности равно числу единиц. И этим мы вскроем подлог. Мы поймем, что столкнулись с имитацией вероятностного процесса, а не с истинной случайностью.

Профессор Московского университета С.Э.Шноль исследуя тонкую структуру корреляций в различных физических, химических и биологических системах заметил любопытнейшие закономерности поведения паттернов функций распределения, полученных за фиксированное количество испытаний. В частности были обнаружены циклическая повторяемость паттернов во времени, пространственная корреляция физически не связанных процессов и множество других удивительных явлений. Не говорит ли это о том, что наш мир действительно v большой генератор псевдослучайных чисел? Мы считаем, что многие из обнаруженных эффектов в принципе могут быть удовлетворительно объяснены в рамках модели конечного мира. Разберем один из типичных экспериментов в котором в качестве случайного сигнала использовалась активность α v радиоактивного источника. Активность измерялась подсчетом числа импульсов n генерируемых детектором α v частиц. за фиксированный промежуток времени δτ. По серии испытаний строилась зависимость функции распределения активности f(n) источника α v частиц. Понятно, что речь идет о экспериментально полученном экземпляре Пуассоновского распределения.

Далее приведен характерный экспериметальный график, заимствованный из работы: "О создаваемой космофизическими причинами дискретности результатов измерений хода во времени процессов разной природы (феномены "макроскопического квантования" и "макроскопических флуктуаций"). С.Э.Шноль, Э.В.Пожарский, В.А.Коломбет, И.М.Зверева, Т.А.Зенченко, А.А.Конрадов. "

На рис.1 представлено распределение результатов 15 000 измерений a-активности препарата 239Pu. Продолжительность одного измерения 6 сек. По оси абсцисс отложены величины радиоактивности (имп /6сек). По оси ординат - число измерений с данной величиной a -активности. "Слоевые" линии проведены через каждые 1000 измерений.

На рис.1 видно, что по мере увеличения числа измерений увеличивается дискретность распределения - увеличиваются высоты пиков и глубины впадин.

С.Э.Шноль утверждает, что форма получающейся кривой (паттерн) не столь случайна, как принято считать. Он утвеждает, что получающиеся паттерны характерны для данного эксперимента, проводимого в определенный момент времени и в определенном месте пространства. Это как бы сигнатура, отвечающая конфигурации прибор v окружающий мир. Подтверждением тому являются обнаруженные циклические повторения паттернов с периодами, близкими к некоторым астрономическим циклам. Кроме этого, С.Э.Шноль сообщает нам о наличии корреляционной связи между пространственно разнесенными случайными событиями. Все эти эффекты автор открытия связывает с суточными и годичными циклами прохождения наблюдателя через "сетку" неких неизвестных космических полей, оказывающих влияние на аппаратуру. То есть корреляции измеряемых сигналов автор приписывает некоему внешнему третьему фактору, а не свойству самой природы. Предполагая достоверность экпериментальных результатов, а так же не исключая возможность и авторской интерпретации, мы обращаем внимание на возможность нетривиальной интерпретации обнаруженных эффектов на основе изложенных в этой статье представлений о конечности мира.

6. Фликкер шум и закон Бенфорда

Проблема фликкер шума обсуждается специалистами разных областей науки уже не одно десятилетие но целостной картины объясняющей феномен пока, что не найдено. Такой интерес к этому явлению вызван тем, что фликкер шум проявляется совершенно в различных физических, биологических, геофизических, социальных и других явлениях. Фликкер шум можно обнаружить и при протекании тока через пленочные резисторы в электронных схемах и при спектральном анализе музыкальных произведений и при изучении статистики годовых осадков и.т.д. И в каждом отдельном случае, как правило, удается найти источник этого шума и объяснить характер его спектра. Несмотря на это, специалисты по статистике не оставляют попыток отыскать некую метапричину, некий общий принцип, который объяснил бы распространенность в природе спектра вида 1/f. В параграфе 4 мы тоже сделали попытку найти такой принцип на основе наших представлений о конечном мире. Мы не будем здесь подробно описывать проблему. На эту тему написано множество популярных статей и серьезных монографий. Скажем только, что любое отличие спектра сигнала от спектра белого шума свидетельствует о некоторой упорядоченности этого сигнала. Распространенность в природе сигналов фликкерного типа свидетельствует, таким образом, о проявлении определенного мирового порядка.

Теперь давайте на время отвлечемся от фликкер шума и рассмотрим проблему совсем из другой области.

Открытие Бенфорда, как и многие открытия в истории, было в значительной мере случайным - он взял в библиотеке книжку с таблицами логарифмов и, листая ее, заметил, что особенно много следов чтения хранят первые страницы книги - те, на которых помещались логарифмы чисел, начинающихся с единицы. Выходило, что большинство листавших книгу интересовали именно такие числа.

Странная популярность единицы заинтриговала Бенфорда, и последующие несколько лет он посвятил изучению самых разных числовых рядов: статистики американской бейсбольной лиги, всех цифр из изданий "Ридерз Дайджест", атомных весов элементов, счетов за электроэнергию на Соломоновых островах... Везде он видел существенное преобладание единиц над всеми остальными цифрами.

В итоге Бенфорд не только сформулировал закон о преобладании единицы, но и вывел формулу, которая позволяют рассчитать частоту появления знака "d" в начале числа. log(1+1/d). Результаты своих исследований он опубликовал в статье "The Law of Anomalous Numbers" in Proc. Amer. Phil. Soc 78, pp 551-72.

Закон Бенфорда до сих пор привлекает исследователей чисел. Он работает везде, где только ни ведется счет: демографические данные по 3 141 округам США, количество акций, проданных на бирже, динамика рынка бытовой техники, площади и численности населения стран и.т.д. В некоторых случаях удается найти объяснение этому распределению.

Бенфордовское распределения проявляется не во всех системах. Рассмотрим, например, лототрон с 999 подряд пронумерованными шарами. Вероятность выбрать из этого лототрона шар с номером, начинающимся с единицы будет 0,111, но это далеко от тех 30%, которые должно давать Бенфордовское распределение. В общем случае, распределение будет зависеть от количества шаров N. При увеличении числа N вероятность расходится. Другим примером является функция Y=n٠p mod 1, равномерно разбрасывающая точки по единичной окружности. Она дает равномерное распределение по первым цифрам. Таким образом, Бенфордовское распределения чисел в массиве свидетельствует о не случайном происхождении этих чисел. Бенфордовское распределение проявляется чаще, когда мы имеем дело с божьим "промыслом". То есть с теми процессами, которые от нас мало зависят или не контролируются нами. Когда я узнал о существовании этой проблемы, первое, что я сделал, это решил самостоятельно убедится в наличии закономерности. Под рукой оказался справочник по молекулярным постоянным неорганических соединений. Краснов К.С., Филипенко и др. Под ред. Докт. Хим. Наук Краснова К.С.-Л.: Химия, 979.-448с. Справочник содержит большое количество таблиц с основными частотами молекулярных колебаний. Открыв книгу на первой случайной странице мне в глаза просто бросилось изобилие единиц. Пройдясь по страницам, я убедился, что это правило. Типичная кривая Бенфордовского распределения приведена на рисунке 3. Рядом для сравнения приведен рисунок со спектром фликкер шума.

Подавляющая распространенность Бенфордовсого распределения в нашей жизни, внешняя, чисто визуальная схожесть кривых на рисунках 2 и 3. и так же как и в случае с фликкер шумом отсутствие общего объяснительного принципа, заставляет думать о существовании общих корней обоих феноменов.

Напомним, что эффект фликкер шума мы предложили объяснять на основе алгоритмической модели конечного мира. Может ли закон Бенфорда быть объяснен на основе тех же представлений?

Заметим, прежде всего, что доминирование единицы в массиве чисел является следствием неравномернго распределения их на числовой оси. Известно, что показательная функция Y=Px с любым основанием "P" генерирует множество чисел, подчиняющееся распределению Бенфорда. Доказательство этого утверждения весьма просто. Прологарифмировав, получим LogY=x٠LogP. Если десятичный логарифм "P" иррационален, то значения LogY, накручиваемые на единичную окружность то есть взятые по модулю 1, распределятся по окружности равномерно. "Арнольд В. И. "Жёсткие" и "мягкие" модели в математике. М., 2000." Первая цифра числа зависит только от положения дробной части его логарифма на рассматриваемой окружности. Легко найти для каждой цифры соответствующую дугу окружности. Длины этих дуг дадут искомое распределение первых цифр.

Таким образом, распределение Бенфорда можно рассматривать, как тест на случайность чисел в массиве. Похоже, что основная масса обнаруженных случаев Бенфордовского распределения обусловлена тем, что анализируются числа, имеющее "показательное" происхождение. Именно такое происхождение имеет наблюдаемое распределение численности населения стран. Чтобы это понять, достаточно вспомнить, что в соответствии с законом Мальтуса численность населения одной и той же страны в разные годы образует геометрическую прогрессию.

Мы с полным правом можем повторить уже в применении к Бенфордовскому распределению сказанное ранее в отношении фликкер шума: Распространенность в природе распределения Бенфорда свидетельствует о проявлении определенного мирового порядка. Легко догадаться о каком порядке идет речь. Это порядок, обусловленный псевдослучайностью нашего мира.

Закон Бенфорда и многомерие.

Начнем наше рассмотрение с хорошо известной аналогии между распространением электромагнитных волн в волноводе и движением свободной релятивистской частицы в вакууме. ("Фейнмановские лекции по физике" - М.: Мир, 1977, том 6, стр. 232). Когда речь идет о распространении электромагнитных волн в волноводе обычно приводят формулу для составляющей волнового вектора в направлении распространения, тоесть вдоль волновода:

(4)

Здесь w - частота электромагнитной волны, с v скорость света, a v размер поперечного сечения волновода. Из формулы видно, что фазовая скорость Vф=w/kz зависит от частоты, то есть имеет место дисперсия. Если a-¥, то Vф=с и дисперсии нет. Из известной формулы СТО, связывающей энергию и импульс: заменяя E=hw, и p=hk, получим формулу очень напоминающую формулу описывающую дисперсию электромагнитных волн в волноводе:

(5)

Сравнение формул 4 и 5 наталкивает на мысль, что движение свободной частицы в вакууме на самом деле не так уж свободно как нам кажется и в действительности представляет собой некий волновой прцесс в каком-то "волноводе" с поперечным сечением a=h/2m0c. Подобные рассуждения приводят к концепции многомерия, которая в настоящее время является основой фундаментальной физики. Одну из самых красивых многомерных моделей предложили Эйнштейн и Бергман. Они предложили увеличив размерность нашего 4-х мерного многообразия на единицу, свернуть получившееся пятимерное пространство в трубку с микроскопическим диаметром, так, что образовывался "волновод" по которому могли распространяться материальные поля. Так, например поле, распространяющееся вдоль оси Z в пятимерном пространстве:

(6)

будет подчиняться дисперсионному соотношению (5) и, следовательно, может описывать движение свободной частицы. Что же означает соотношение (6)?. Легко видеть, что формула описывает некое расслоение над физическим многообразием по добавочной координате X5.

Алгоритмическая модель, развиваемая автором, так же приводит к идее многомерия. Однако, если во всех существующих на сегодняшний день теретических построениях дополнительные координаты вводятся чисто формально, то алгоритмическая модель логически приводит к многомерному миру на основе представления о субъективной физической неполноте. (Статья автора "Алгоритмическая модель мира" на сайте www.piramyd.express.ru)

Ниже мы приведем не очень строгое рассуждение которое, возможно, позволит понять каким образом в массиве наблюдаемых возникает Бенфордовское распределение. Пусть X v некоторая физическая наблюдаемая, значения которой могут быть получены экспериментально путем измерений. В большинстве случаев оказывается, что полученный массив данных подчиняется статистике Бенфорда. Можно предположить, что вызвано это тем, что измеряемые величины являются значениями показательной функции некоторого скрытого параметра w, где P v действительная константа:

(7)

Интрига возникает, когда мы рассматриваем показательную функцию с комплексной базой.

(8)

Квадратными скобками обозначено главное значение функции. Если w рациональное, то значения показательной функции общего вида , где P комплексное число, принадлежат конечному числу функций от w, каждая из которых однозначна. То есть функция Z(w), отвечающая физическому состоянию X вырождена в функциональном пространстве простых периодических функций:

(9)

Мы опять приходим к модели физического состояния, вырожденного по фундаментальным состояниям мира и не наблюдаемым субъектом вследствие физической неполноты. Параметр t в формуле (9) несет ту же смысловую нагрузку, что и параметр X5 в формуле (6). Этим любопытным фактом мы и закончим наше исследование в котором мы показали в какой сложный "клубок" закручены рассмотренные проблемы.

Это проблема происхождения фликкер шума, проблема Бенфордовского распределения и проблема тонкой структуры корреляций в экспериментах Шноля. Мы показали, что решение этих проблем может иметь общий ключ. И этим ключом возможно окажется алгоритмическая модель конечного мира.