Модель с фиксированным объёмом заказа

Основной параметр модели – объём заказа, интервал времени между заказами не имеет определённого значения.

Определение оптимального значения объёма заказа представляет собой нахождение наилучшего сочетания стоимости хранения и стоимости выполнения заказа, находящимися в обратной пропорциональности. При небольших объёмах заказов снижаются складские расходы на их содержание, но возрастают расходы на возобновление заказа и его доставку (заказы приходится делать чаще). При увеличении величины закупочной партии снижаются затраты на закупку, возможно получение оптовых сидок, но стоимость складирования возрастает.

Общие годовые расходы на запасы представляют собой сумму годовой стоимости хранения и годовой стоимости заказа запаса.

Оптимальное значение объёма заказа получило название «экономичный объём заказа» (economic order quantity models – EOQ) и определяется как объём заказа при минимальном значении общих годовых расходов на запасы.

В зависимости от условий заказа различают:

1. основную модель EOQ;

2. модель EOQ с постепенным пополнением запасов;

3. модель EOQ в условиях количественных скидок.

При использовании модели с фиксированным объёмом заказа необходимо определять не только оптимальный объём заказа, но и точку возобновления заказа. Это задача моделей ROP (reorder point).

Основная модель экономичного объёма заказа (EOQ)

Модель EOQ используется для определения объёма заказа, который даст минимальную годовую стоимость хранения запасов и выполнения заказов.

В качестве ограничений принимаем:

• все расчёты относятся только к одному виду товара;

• известны нормы годового спроса;

• спрос равномерно распределён по всему годовому периоду;

• время исполнения заказов не меняется;

• каждый заказ поступает единой поставкой;

• количественные скидки не действуют.

1) Общие годовые расходы на запасы:

Сзг = Сзг _хран + Сзг_зак, (1)

где Сзг _хран - годовая стоимость хранения запасов;

Сзг_зак - годовая стоимость заказа запасов.

2) Годовая стоимость хранения запасов:

Сзг _хран = Се_хран × Q_ср, (2)

где Q_ср – средний уровень запасов в год;

Се_хран – годовая средняя стоимость содержания одной единицы запаса.

Средний уровень запасов определяется как половина объёма заказа, так как уровень запасов колеблется от Q единиц до 0. Тогда:

Сзг _хран = Се _хран × Q/2, (3)

где Q – объём заказа.

Стоимость хранения является линейной функцией от Q (рис. 17).

Иногда стоимость хранения единицы запаса выражается как процент от её закупочной цены. В этом случае Се _хран представляет собой стоимостное выражение этого процента.

3) Годовая стоимость заказа запаса:

Сзг_зак = Се_зак × Sг/ Q , (4)

где Sг – годовой спрос;

Се_зак – стоимость одного заказа;

Sг/ Q – количество заказов в год.

Стоимость заказа находится в обратной зависимости от объёма заказа (рис. 17).

4) Экономичный объём заказа.

Для определения экономичного объёма заказа необходимо определить точку минимума кривой общих годовых расходов на запасы. Для этого в (1) подставляем (3) и (4), затем дифференцируем полученное выражение относительно Q, приравниваем результат к 0 и решаем уравнение для Q. При этом Q заменяем на Q_О , т.е. оптимальное значение партии.

Сзг = Се_хран × Q/2 + Се_зак × Sг/ Q (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

5) Минимальные общие годовые расходы.

Минимальные общие годовые расходы определяются , если подставить Q_опт в (5).

6) Продолжительность цикла заказа:

Тц_зак = Q_О / Sг (10)

Рис.17. График определения точки EOQ

Рис. 18. Графическая интерпретация основной модели EOQ: Q – объём заказа, ТВЗ – точка возобновления заказа, ПЗ – получить заказ, СЗ – сделать заказ, СИЗ – срок исполнения заказа, Тц_зап – продолжительность цикла развития запасов.

Модель EOQ с постепенным пополнением запасов

В основной модели EOQ предполагается единовременное пополнение запаса в полном объёме. Но в случае производственных запасов, когда производитель и потребитель запасов совпадают, происходит постепенное пополнение запасов. Если темпы производства опережают темпы потребления, то производство занимает только часть цикла развития запасов. Их необходимый уровень складывается из разницы производства и потребления на текущий момент времени. Производство прекращается, когда уровень запасов достигает оптимального значения, и далее происходит только потребление запасов. Когда наличный запас заканчивается, цикл повторяется.

Модель EOQ с постепенным пополнением запасов используется для определения оптимальной производственной партии Q_Оп. Как и в основной модели оптимальное значение Q принимает при минимальной стоимости затрат на запасы.

Рис. 19. Графическая интерпретация модели EOQ с постепенным пополнением запасов

1) Общие годовые расходы на запасы:

Сзг = Сзг _хран + Сзг_пп, (11)

где Сзг _хран - годовая стоимость хранения запасов;

Сзг_пп - годовая стоимость подготовки производства запасов.

2) Годовая стоимость хранения запасов:

Сзг _хран = Се_хран × Q_ср, (12)

где Q_ср – средний уровень запасов в год;

Се_хран – годовая средняя стоимость содержания одной единицы запаса.

Средний уровень запасов определяется как половина максимального уровня запасов Q_max. Поскольку на формирование запасов в данном случае влияет на только объём производственной партии, но и темпы производства и потребления запасов, то:

, (13)

где: Q_п – объём производственной партии,

р – темп производства,

u – темп потребления.

Тогда:

Сзг _хран = Се _хран × Q_max/2 (14)

(15)

3) Годовая стоимость подготовки производства запаса:

Сзг_пп = Се_пп × Sг/ Q_п , (16)

где Sг – годовой спрос;

Се_п – стоимость подготовки производства одной партии;

Sг/ Q_п – количество производственных партий в год.

4) Экономичный объём производственной партии.

Для определения экономичного объёма производственной партии необходимо определить точку минимума кривой общих годовых расходов на запасы. Для этого в (11) подставляем (15) и (16), затем дифференцируем полученное выражение относительно Q_п, приравниваем результат к 0 и решаем уравнение для Q. При этом Q_п заменяем на Q_Оп , т.е. оптимальное значение партии.

(17)

(18)

(19)

(20)

√

(21)

5) Минимальные общие годовые расходы.

Минимальные общие годовые расходы определяются , если подставить Q_Оп в (17).

6) Продолжительность цикла развития запаса.

В данном случае продолжительность цикла развития запаса представляет собой время между возобновлениями производства партий запасов оптимального размера:

Тц_зап = Q_Оп / u (22)

7) Продолжительность производственной фазы цикла развития запасов:

Тц_пф = Q_Оп / р (23)

8) Максимальный уровень запасов

, (24)

Модель EOQ в условиях количественных скидок

Количественные скидки – это снижение цен на товар при закупке крупных партий товара.

Основная задача данной модели аналогична задаче основной модели EOQ. Но при этом возникает необходимость учёта закупочной цены, так как она меняется с возрастанием объёма закупочной партии.

Общие годовые расходы на запасы:

Сзг = Сзг _хран + Сзг_зак + Сзг_закуп , (25)

где Сзг _хран - годовая стоимость хранения запасов;

Сзг_зак - годовая стоимость заказа запасов;

Сзг_закуп - годовая закупочная стоимость.

Годовая закупочная стоимость запасов:

Сзг_закуп = Се_закуп × Sг , (26)

где Sг – годовой спрос;

Се_закуп - закупочная стоимость единицы запаса

Если обратиться к графику, отражающему зависимость общих годовых расходов на запас от объёма партии заказа (рис. 20), то можно заметить, что включение в общие годовые расходы закупочной стоимости равномерно поднимает кривую общих годовых расходов на величину Сзг_закуп . Но из-за изменения закупочной стоимости в зависимости от объёма партии, имеется не одна кривая, а несколько, причём каждая отражает реальные расходы только на соответствующем участке значений объёма партий. Реальный показатель сначала находится на кривой с максимальной закупочной ценой, а затем последовательно опускается вниз в точках изменения цены.

Точка изменения цены – это минимальный объём, необходимый для получения скидки.

Цель модели количественных скидок – определение такого объёма заказа, который даст минимальные общие расходы для всего набора кривых.

Существуют два основных варианта модели:

- стоимость хранения единицы запаса фиксирована.

В этом случае EOQ един для всех кривых расходов и определяется по следующему алгоритму:

1. рассчитать обычный EOQ. Далее 2.

2. определить диапазон цен, в который попал EOQ. Если этот диапазон наименьший, то 6, если нет – то 3.

3. рассчитать Сзг для EOQ и для всех точек изменения цены с меньшей закупочной стоимостью. Далее 4.

4. сравнить полученные показатели Сзг. Далее 5.

5. определить показатель (EOQ или точка изменения цены), который даёт наименьшие общие расходы. Далее 6.

6. зафиксировать оптимальный объём партии заказа.

- стоимость хранения единицы запаса определяется как процент от закупочной цены.

В этом случае каждая кривая общих расходов будет иметь свою точку EOQ. Алгоритм определения оптимального объёма заказа следующий:

1. рассчитать EOQ для каждого диапазона цен. Далее 2.

2. определить реальный EOQ, совпадающий с диапазоном соей цены. Если реальный EOQ совпадает с наименьшим диапазоном, то 5. Если нет, то 3.

3. сравнить Сзг в точках изменения цены для всех меньших цен с Сзг для максимального реального EOQ. Далее 4.

4. определить минимальный Сзг и соответствующий ему EOQ. Далее 5.

5. зафиксировать оптимальный объём партии заказа.

Рис. 20. Изменение кривой общих расходов в случае количественных скидок

Модель ROP

Основная задача моделей ROP – определить количественно точку возобновления заказа, т.е. уровень запасов, когда их наличный объём достаточен для удовлетворения спроса во время исполнения заказа.

Показатели, влияющие на ROP:

- спрос во время исполнения заказа;

- время исполнения заказа.

В зависимости от вероятности изменения этих показателей во время исполнения заказа различаются выражения для определения ROP.

Если спрос и время исполнения заказа постоянны, то точка возобновления заказа:

ROP = Sе × Ти, (27)

где Sе - ежедневный (еженедельный и т.д.) спрос;

Ти – время исполнения заказа в днях (неделях и т.д.)

Если возможно изменение спроса или времени исполнения заказа, то для уменьшения риска исчерпания запаса на это время необходимо создавать и поддерживать дополнительный запас, называемый резервным. Тогда точка ROP рассчитывается:

ROP = S _Ти + Q_рез, (28)

где S _Ти - ожидаемый спрос в период исполнения заказа;

Q_рез – резервный запас.

Объём резервного запаса в каждой конкретной ситуации определяется следующими факторами:

1. средняя норма потребления (уровень спроса) и среднее время исполнения заказа;

2. подверженность изменениям показателей спроса и времени исполнения заказа;

3. желаемый уровень обслуживания.

Уровень обслуживания и риск исчерпания запасов являются составными величинами, т.е. их сумма равна 100%. При повышении уровня обслуживания увеличивается объём резервного запаса. Таким образом, резервный запас:

Q_рез = z × σ_SеТи , (29)

где z – число стандартных отклонений (определяется из таблиц соответствия z и уровня обслуживания);

σ_SеТи - стандартное отклонение спроса или времени исполнения заказа.

В модели предполагается, что любое изменение в спросе или времени исполнения заказа можно адекватно описать нормальным распределением.

Если отсутствуют данные об ожидаемом спросе во время исполнения заказа, то необходимо воспользоваться статистическими данными об ежедневных (еженедельных и т.д.) изменениях спроса и срока исполнения заказа. ТогдаROP рассчитывается:

1) если изменяется только спрос, то

, (30)

где Sе_ср - средний ежедневный (еженедельный и т.д.) спрос;

Ти – время исполнения заказа в днях (неделях и т.д.);

σ

σ_SеТи=Sе × σ_Ти

_Sе – стандартное отклонение спроса в день (неделю и т.д.)

2) если изменяется только срок исполнения заказа, то

ROP = Sе × Ти_ср + z × Sе × σ_Ти

, (31)

где Sе - ежедневный (еженедельный и т.д.) спрос;

Ти_ср – среднее время исполнения заказа в днях (неделях и т.д.);

σ_Ти – стандартное отклонение срока исполнения заказа в днях (неделях и т.д.)

1)если изменяются и спрос, и срок исполнения заказа, то

(32)

Рис. 21. Графическая интерпретация модели ROP