Дискретная математика ПМ / Экзамен ПМ / Вопросы к экзамену 2011

78

Вопросы к экзамену

1. Логические функции. Определения. Фиктивная переменная. Таблица логических функций 1 и 2 переменных.

2. Логические формулы. Индуктивное определение. Эквивалентные формулы. Правило замены подформул. Правило подстановки формулы вместо переменной.

3. Основные свойства булевых операций. Булевы алгебры. Теорема о числе подмножеств конечного множества.

4. Эквивалентные преобразования. Законы.

5. ДНФ, КНФ. Разложение функции по переменным. Теорема.

6. Правило построения СДНФ из вектор-столбца (Утверждение). Теорема о представимости логической функции булевой формулой. Теорема о существовании эквивалентного преобразования двух эквивалентных формул друг в друга.

7. Преобразование формул: правило приведение к ДНФ (пример); правило перехода от ДНФ к КНФ (пример). Замечание. Правило получения СКНФ из вектор-столбца.

8. Импликанты. Простые импликанты. Примеры. Теорема о мощности единичного множества функции, представленной единственной элементарной конъюкцией.

9. Импликанты и ДНФ. Утверждение 1. Утверждение 2. Утверждение 3. Таблица покрытия. Сокращенная ДНФ. Тупиковая ДНФ.

10. Метод Блейка –Порецкого для получения сокращенной ДНФ функции.

11. Алгебра Жегалкина. Теорема о существовании и единственности алгебры Жегалкина. Утверждения.

12. Понятие функционально полной системы. Замкнутые классы. Определения. Примеры.

13. Предполные классы. Двойственные функции. Замкнутость класса самодвойственных функций. Принцип двойственности.

14. Предполные классы: Т₀, Т₁, L.

15. Предполные классы: монотонные функции. Теорема о булевой формуле монотонной функции. Замкнутость.

16. Две теоремы о функциональной полноте: Лемма 1 (о нелинейных функциях).

17. Две теоремы о функциональной полноте: Лемма 2 (о нелинейных функциях).

18. Слабая функциональная полнота. Определение, примеры. Первая теорема о функциональной полноте.

19. Вторая теорема о функциональной полноте: Лемма 3 (о несамодвойственных функциях).

20. Теорема Поста. Таблица Поста.

21. Предикаты: определение, примеры, область истинности.

22. Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями. Определенные высказывания и переменные высказывания. Равносильные формулы алгебры высказываний.

23. Предикаты и операции квантирования: определение предиката; предметные переменные; поле предиката; примеры предикатов. Кванторы. Связанные и свободные переменные. Определенные предикаты. Переменные предикаты.

24. Равносильные формулы логики предикатов. Область истинности. Тождественно истинные и тождественно ложные формулы.

25. Методы доказательства в логике предикатов. Префиксная нормальная форма.

1. Множество функций , переводящих бесконечные последовательности в бесконечную последовательность. Множество - множество функций f(X) от векторной переменной.

2. Детерминированные функции: определение, замечание, представление д. функции с помощью последовательности функций множества . Пример.

3. Представление детерминированной функции с помощью бесконечного занумерованного дерева.

4. Нумерация вершин. Специальное поддерево. Эквивалентность специальных поддеревьев. Вес дерева.

5. Нумерация вершин. Усеченное дерево. Диаграмма Мура.

6. Построение канонической таблицы о.-д. функции. Канонические уравнения. Общий вид канонических уравнений.

7. Побуквенное кодирование. Примеры. Разделимость, префиксность.

8. Оптимальное кодирование: код Фано. Пример.

9. Метод Хаффмена. Теорема. Пример.

10. Метрическое пространство ; расстояние Хемминга; кодовое расстояние.

11. Виды ошибок. Помехоустойчивое кодирование. Декодирование. Утверждение о кодовом расстоянии.

12. Код Хемминга: функция Хемминга; утверждение о мощности кода Хемминга.

13. Метод кодирования Хемминга.