Дискретная математика ПМ / Экзамен ПМ / Вопросы к экзамену

80

Оценочные и диагностические средства итоговой аттестации

1. Вопросы к зачету

1. Логические функции. Функции 1 и 2 переменных.

2. Фиктивные переменные.

3. Логические формулы. Эквивалентные формулы.

4. Правило замены подформул. Правило подстановки формулы вместо переменной.

5. Основные свойства булевых операций.

6. Эквивалентные преобразования. Теорема о существовании эквивалентного преобразования одной из эквивалентных формул в другую.

7. Разложение функции по переменным. Теорема. СДНФ.

8. ДНФ, КНФ (определение).

9. Правило построения СДНФ из вектор-столбца.

10. Булевы формулы. Теорема о представимости логической функции булевой формулой.

11. Правило перехода от ДНФ к КНФ.

12. Правило получения СКНФ из вектор-столбца функции.

13. Определение функции, имплицирующей другую функцию. Импликанты. Простые импликанты.

14. Таблица покрытия. Сокращенная тупиковая ДНФ. Метод Блейка -Порецкого.

15. Алгебра Жегалкина. Линейные функции.

16. Определение функционально полной системы. Примеры.

17. Замкнутые классы (определение, примеры).

18. Предполные классы: двойственность.

19. Предполные классы: монотонность, теорема о булевой формуле монотонной функции.

20. Лемма 1 (о немонотонной функции).

21. Лемма 2 (о нелинейной функции).

22. Формулировка теоремы о функциональной полноте в слабом смысле.

23. Лемма 3 (о несамодвойственных функциях).

24. Предикаты: основные определения, предметная область, область истинности, кванторы.

25. Предикатные формулы.

26. Истинные формулы и эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма.

2. Вопросы к экзамену

1. Логические функции. Определения. Фиктивная переменная. Таблица логических функций 1 и 2 переменных.

2. Логические формулы. Индуктивное определение. Эквивалентные формулы. Правило замены подформул. Правило подстановки формулы вместо переменной.

3. Основные свойства булевых операций. Булевы алгебры. Теорема о числе подмножеств конечного множества.

4. Эквивалентные преобразования. Законы.

5. ДНФ, КНФ. Разложение функции по переменным. Теорема.

6. Правило построения СДНФ из вектор-столбца (Утверждение). Теорема о представимости логической функции булевой формулой. Теорема о существовании эквивалентного преобразования двух эквивалентных формул друг в друга.

7. Преобразование формул: правило приведение к ДНФ (пример); правило перехода от ДНФ к КНФ (пример). Замечание. Правило получения СКНФ из вектор-столбца.

8. Импликанты. Простые импликанты. Примеры. Теорема о мощности единичного множества функции, представленной единственной элементарной конъюкцией.

9. Импликанты и ДНФ. Утверждение 1. Утверждение 2. Утверждение 3. Таблица покрытия. Сокращенная ДНФ. Тупиковая ДНФ.

10. Метод Блейка –Порецкого для получения сокращенной ДНФ функции.

11. Алгебра Жегалкина. Теорема о существовании и единственности алгебры Жегалкина. Утверждения.

12. Понятие функционально полной системы. Замкнутые классы. Определения. Примеры.

13. Предполные классы. Двойственные функции. Замкнутость класса самодвойственных функций. Принцип двойственности.

14. Предполные классы: Т₀, Т₁, L.

15. Предполные классы: монотонные функции. Теорема о булевой формуле монотонной функции. Замкнутость.

16. Две теоремы о функциональной полноте: Лемма 1 (о нелинейных функциях).

17. Две теоремы о функциональной полноте: Лемма 2 (о нелинейных функциях).

18. Слабая функциональная полнота. Определение, примеры. Первая теорема о функциональной полноте.

19. Вторая теорема о функциональной полноте: Лемма 3 (о несамодвойственных функциях).

20. Теорема Поста. Таблица Поста.

21. Предикаты: определение, примеры, область истинности.

22. Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями. Определенные высказывания и переменные высказывания. Равносильные формулы алгебры высказываний.

23. Предикаты и операции квантирования: определение предиката; предметные переменные; поле предиката; примеры предикатов. Кванторы. Связанные и свободные переменные. Определенные предикаты. Переменные предикаты.

24. Равносильные формулы логики предикатов. Область истинности. Тождественно истинные и тождественно ложные формулы.

25. Методы доказательства в логике предикатов. Префиксная нормальная форма.

26. Множество функций , переводящих бесконечные последовательности в бесконечную последовательность. Множество - множество функций f(X) от векторной переменной.

27. Детерминированные функции: определение, замечание, представление д. функции с помощью последовательности функций множества . Пример.

28. Представление детерминированной функции с помощью бесконечного занумерованного дерева.

29. Нумерация вершин. Специальное поддерево. Эквивалентность специальных поддеревьев. Вес дерева.

30. Нумерация вершин. Усеченное дерево. Диаграмма Мура.

31. Построение канонической таблицы о.-д. функции. Канонические уравнения. Общий вид канонических уравнений.

32. Операции над детерминированными функциями: операция .

33. Зависимость от переменной с запаздыванием. Операция – введение обратной связи.

34. Операция объединения и операция суперпозиции.

35. Полнота системы детерминированных функции.

36. Побуквенное кодирование. Примеры. Разделимость, префиксность.

37. Оптимальное кодирование: код Фано. Пример.

38. Метод Хаффмена. Теорема. Пример.

39. Метрическое пространство ; расстояние Хемминга; кодовое расстояние.

40. Виды ошибок. Помехоустойчивое кодирование. Декодирование. Утверждение 1. Утверждение 2.

41. Код Хемминга: функция Хемминга; утверждение о мощности кода Хемминга.

42. Метод кодирования Хемминга.