Дискретная математика ПМ / Экзамен ПМ / Вопросы 2010

Вопросы к экзамену

1. Логические функции. Определения. Фиктивная переменная. Таблица логических функций 1 и 2 переменных. Логические формулы. Индуктивное определение. Эквивалентные формулы. Правило замены подформул. Правило подстановки формулы вместо переменной.

2. Основные свойства булевых операций. Булевы алгебры. Теорема о числе подмножеств конечного множества.

3. Эквивалентные преобразования. Законы. ДНФ, КНФ. Разложение функции по переменным. Теорема.

4. Правило построения СДНФ из вектор-столбца (Утверждение). Теорема о представимости логической функции булевой формулой. Теорема о существовании эквивалентного преобразования двух эквивалентных формул друг в друга. Преобразование формул: правило приведение к ДНФ (пример); правило перехода от ДНФ к КНФ (пример). Замечание. Правило получения СКНФ из вектор-столбца.

5. Импликанты. Простые импликанты. Примеры. Теорема о мощности единичного множества функции, представленной единственной элементарной конъюкцией.

6. Импликанты и ДНФ. Утверждение 1. Утверждение 2. Утверждение 3. Таблица покрытия. Сокращенная ДНФ. Тупиковая ДНФ. Метод Блейка –Порецкого для получения сокращенной ДНФ функции.

7. Алгебра Жегалкина. Теорема о существовании и единственности алгебры Жегалкина. Утверждения.

8. Понятие функционально полной системы. Замкнутые классы. Определения. Примеры. Слабая функциональная полнота. Определение, примеры. Первая теорема о функциональной полноте.

9. Предполные классы. Двойственные функции. Замкнутость класса самодвойственных функций. Принцип двойственности.

10. Предполные классы: монотонные функции. Теорема о булевой формуле монотонной функции. Классы: Т₀, Т₁, L. Замкнутость.

11. Две теоремы о функциональной полноте: Лемма 1 (о нелинейных функциях).

12. Две теоремы о функциональной полноте: Лемма 2 (о нелинейных функциях).

13. Вторая теорема о функциональной полноте: Лемма 3 (о несамодвойственных функциях).

14. Теорема Поста. Таблица Поста.

15. Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями. Определенные высказывания и переменные высказывания. Равносильные формулы алгебры высказываний.

16. Предикаты и операции квантирования: определение предиката; предметные переменные; поле предиката; примеры предикатов. Кванторы. Связанные и свободные переменные. Определенные предикаты. Переменные предикаты.

17. Равносильные формулы логики предикатов. Область истинности. Тождественно истинные и тождественно ложные формулы. Методы доказательства в логике предикатов. Префиксная нормальная форма.

18. Множество функций , переводящих бесконечные последовательности в бесконечную последовательность. Множество - множество функций f(X) от векторной переменной.

19. Детерминированные функции: определение, замечание, представление д. функции с помощью последовательности функций множества . Пример.

20. Представление детерминированной функции с помощью бесконечного занумерованного дерева.

21. Нумерация вершин. Специальное поддерево. Эквивалентность специальных поддеревьев. Вес дерева.

22. Нумерация вершин. Усеченное дерево. Диаграмма Мура.

23. Построение канонической таблицы о.-д. функции. Канонические уравнения. Общий вид канонических уравнений.

24. Операции над детерминированными функциями: операция .

25. Зависимость от переменной с запаздыванием. Операция – введение обратной связи.

26. Операция объединения и операция суперпозиции.

27. Полнота системы детерминированных функции.

28. Побуквенное кодирование. Примеры. Разделимость, префиксность.

29. Оптимальное кодирование: код Фано. Пример.

30. Метод Хаффмена. Теорема. Пример.

31. Метрическое пространство ; расстояние Хемминга; кодовое расстояние.

32. Виды ошибок. Помехоустойчивое кодирование. Декодирование. Утверждение 1. Утверждение 2.

33. Код Хемминга: функция Хемминга; утверждение о мощности кода Хемминга.

34. Метод кодирования Хемминга.