диффуры / Лекции по диффурам

для некоторой функции ˙

2) v˙t(x) w(x) < 0 w C(U (0)).

Тогда нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво.

1. В условиях 1) и 2) настоящей теоремы применима предыдущая теорема, гарантирующая устойчивость нулевого решения и существование таких чисел ε > 0 и δ0 > 0, что любое возмущен-

Тогда для него справедлива оценка

lim |x(t)| > α > 0,

t→∞

из которой11), в силу убывания функции v(x(t)) (следствие 111) и ее ограниченности снизу, при всех t R+ имеем

(последнее множество — открыто, так как функция v непрерывна) и

4. Но тогда при достаточно большом t имеем (следствие 111)

t

v(x(t)) v(x(t0)) + w(x(τ )) dτ v(x(t0)) − γ(t − t0) < 0,

t0

что невозможно, а значит, сделанное выше предположение о невыполнении условия (86) не подтвердилось.

11)Кстати, α < ε.

31

6.7. Теорема Четаева

представляет собой существенное обобщение третьей теоремы Ляпунова (о неустойчивости, см. задачу IV в конце главы).

Теорема 114. Пусть f, fx C(G) и для системы (85) существует функция v Ляпунова —Четаева, удовлетворяющая условию12)

0) существует область V U (0), для которой

апри x V и t R+ — условиям:

1)v(x) > 0;

2)v˙t(x) w(x) > 0 для некоторой функции w C(V ). Тогда нулевое решение этой системы неустойчиво.

1. Выберем ε > 0 настолько малым, что

2. Пусть некоторое решение x c начальным условием x(t0) Vε удовлетворяет условию

3. Для числа β ≡ v(x(t0)) > 0 определим множество

Vεβ ≡ Vε \ V β , где V β ≡ {x U (0)| v(x) < β}.

Его граница содержится в объединении множеств ∂V β ∩ Uε(0) и ∂Uε(0), так как точки x ∂V ∩U (0) — внутренние для множества V β . Более того, по той же причине замкнутое и ограниченное (т. е.

компактное) множество Vεβ содержится в множестве V . 4. Решение x удовлетворяет условию

x(t) Vεβ , t R+,

так как x(t0) Vεβ и ни при каком t t0 вектор x(t) не может попасть на границу множества13) Vεβ : в точках x ∂V ∩ Uε(0)

имеет место оценка

v(x) = 0 < β = v(x(t0)) < v(x(t))

12)Которое не противоречит условию 0) определения 20.

13)Чтобы покинуть его.

32

(по следствию 111 функция v(x(t)) возрастает, пока x(t) V ), а точки x ∂Uε(0) — недоступны в силу условия (87).

5. Обозначив

inf w(x) ≡ γ > 0,

x Vεβ

имеем

t

v(x(t)) v(x(t0)) + w(x(τ )) dτ β + γ(t − t0), t R+,

t0

а значит, непрерывная на компакте Vεβ функция v — неограничена, что неверно, как, впрочем, и предположение (87). Следовательно, любое непродолжаемое14) решение c начальным условием x(t0) Vε либо не определено на всем луче R+, либо определено, но не удовлетворяет на нем условию (87), т. е. нулевое решение неустойчиво.

6.8.Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению

В качестве оператора A End Rn, задающего соответствующую

линеаризованную систему (первого приближения)

x˙ = Ax, t R+,

годится, например, производная fx(t, 0) правой части системы (85), если она16) не зависит от времени.

14)См. лемму 19.

15)Обеспечивающему наличие нулевого решения.

16)Производная, а еще лучше — сама правая часть.

33

Следующие две теоремы кладут начало первому методу Ляпунова, который позволяет делать заключение об асимптотической устойчивости или неустойчивости нулевого решения системы по наличию того же свойства у соответствующей ей линеаризованной системы.

Теорема 115. Если действительные части всех собственных значений оператора A отрицательны, то нулевое решение системы (88) с условием (89) асимптотически устойчиво.

1. Комплексифицируем систему (88), перейдя к системе

z˙ = Az + F(t, z),

где A End Cn — комплексификация оператора A End Rn (см. определение 17), а функция

— определена в области

G ≡ {(t, x + iy)| (t, x) G, y Rn} R+ × U(0),

U(0) ≡ U (0) + iRn,

причем ее сужение на область G совпадает с функцией F .

2. Для собственных значений λ1, . . . , λn оператора A обозначим

3. Выберем такой базис в Cn, в котором матрица оператора A имеет вид

Этот базис:

a) получается из жорданова базиса h1, . . . , hn для оператора A с помощью специального преобразования, которое производит-

ся по формулам

34

как только o(1) < α/2, что достигается малостью величины |z|,

т.е. уменьшением области U(0).

6.К исходной системе (88) с функцией Ляпунова, равной суже-

нию функции v на область U (0), применим теорему 113, согласно которой нулевое решение асимптотически устойчиво.

6.9.Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению

Теорема 116. Если действительная часть хотя бы одного из собственных значений оператора A положительна, то нулевое решение системы (88) с условием (89) неустойчиво.

1. Комплексифицируем систему (88) в соответствии с первым пунктом доказательства теоремы 115.

2. Для собственных значений λ1, . . . , λn оператора A без ограничения общности считаем, что

Re λ1 . . . Re λm ≡ 2α > 0 Re λm+1 . . . Re λn, δ ≡ α/4.

3.Выберем базис h1, . . . , hn и норму в Cn в соответствии с п. 3 доказательства теоремы 115.

4.К матрицам Λ и , введенным в п. 4 доказательства теоре-

мы 115, добавим матрицы E и , для которых

где Em — единичная матрица порядка m, а |Λ| — матрица, составленная из модулей элементов матрицы Λ.

5. Возьмем функцию

i=1

m

4α |zi|2 − δz2 − o(z2) 2α − α/2 − o(1) z2 > αz2,

i=1

как только o(1) < α/2, что достигается малостью величины |z|,

т.е. уменьшением области U(0).

6.Сечение области V исходным действительным пространством Rn Cn — не пусто, так как эта область содержит C-ли-

нейную оболочку17) векторов h1, . . . , hm, которая, в свою очередь, заведомо содержит R-линейную оболочку действительных векторов hi ± h i, i = 1, . . . , m. Компоненту связности этого сечения, имеющую точку 0 на границе, объявим областью V , а сужение функции v на область V объявим функцией Ляпунова — Чета-

ева, после чего применим к исходной системе (88) теорему 114, согласно которой нулевое решение неустойчиво.

6.10. Задачи для самостоятельного решения

I.Доказать, что если G R+ ×U (0) и f, fx C(G), то в определении 19 устойчивости по Ляпунову решения системы (81) мож-

но опустить требование продолжаемости возмущенного решения на весь луч R+, заменив условие t R+ D(x) в импликации

(82)более слабым условием t R+ ∩ D(x).

II.Может ли случиться, что разные решения одной и той же системы (81) ведут себя при t → ∞ по-разному: одни — устойчивы (не асимптотически) по Ляпунову, другие — асимптотически устойчивы, а третьи — неустойчивы?

III. Верно ли, что если все решения системы (81), с нулевым решением и с правой частью f C1(G), стремятся к нулю при t → ∞, то:

—все решения этой системы ограничены при t R+;

—нулевое решение устойчиво по Ляпунову;

17)Точнее, ее часть, попадающую в окрестность U(0) начала координат.

37

— нулевое решение асимптотически устойчиво? Те же вопросы для случая n = 1.

IV. Доказать третью теорему Ляпунова (о неустойчивос-

1) v(xj ) > 0 для некоторой последовательности xj → 0, стремящейся к нулю при j → ∞;

˙

2) v˙t(x) w(x) > 0 для некоторой функции w C(U (0)). Тогда нулевое решение этой системы неустойчиво по Ляпунову.

V. Останется ли справедливым утверждение теоремы 113 или, соответственно, 114, если в ней условие 2) заменить более простым (не содержащим функции w) условием v˙t(x) < 0 или, соответственно, v˙t(x) > 0 в случае, когда система (85):

—автономна;

—неавтономна?

VI. Доказать, что если все диагонали (параллельные главной) матрицы некоторого оператора в некотором базисе h1, . . . , hn занумерованы подряд снизу вверх целыми числами i = −n, . . . , n (например, главная диагональ имеет номер 0), то при переходе к новому базису h1, . . . , hn (91) каждый элемент i-й диагонали этой матрицы умножается на δi.

VII. Доказать, что факт устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости нулевого решения не нарушится,

если перейти к новому базису в Rn, непрерывно дифференцируемо зависящему от времени, т. е. совершить ляпуновское преобразование координат

y = L(t)x, L R+ + L−1 R+ < ∞, L C1(R+).

VIII. Доказать, что периодичная линейная однородная система (см. задачу V из п. 3.17):

—асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех ее мультипликаторов меньше 1;

—устойчива тогда и только тогда, когда модули всех ее мультипликаторов меньше или равны 1, причем последним соответствуют жордановы клетки оператора монодромии, имеющие только первый порядок.

38

7. Автономные системы

7.1. Фазовое пространство

автономной1) системы

— это область G, а фазовая траектория решения x — это параметрически заданное множество2)

E(x) ≡ {x(t)| t D(x)} G.

Собственно множество E(x), временн´ая параметризация которого забыта, называется фазовой кривой, или орбитой, решения x, а

множество всех фазовых траекторий (кривых) системы — ее фазовым портретом. Множество всех непродолжаемых3) решений

системы (92) обозначим через Sf (G).

Любую систему без ограничения общности можно считать автономной, добавив, в случае необходимости, дополнительную фазовую переменную:

(если последнее ограничение снять, то добавятся лишние решения, которые получаются сдвигами переменной xn+1 = t + C, C R, игравшей прежде роль времени).

7.2.Сдвиг по времени решений автономной системы

I.Задать автономную систему (92) — это то же самое, что задать на ее фазовом пространстве векторное поле, т. е. каждой

точке x G поставить в соответствие вектор

dx(τ )

f (x) = f (x(t)) = x˙(t) ≡ dτ τ =t,

1)Т. е. с правой частью, не зависящей от времени.

2)Которое, пользуясь вольностью речи, можно отождествлять с самим решением.

3)В настоящей главе все эти непродолжаемые решения молчаливо предполагаются определенными на всей числовой прямой R.

39

геометрический смысл которого, по определению решения, есть фазовая скорость x˙ (t) какого-либо решения x(·), взятая в тот мо-

мент t, когда x(t) = x.

Возможен вариант4) изображения зависимости переменной x от параметра t на фазовой траектории в виде стрелки на ней,

показывающей направление движения с ростом времени.

II. Фазовая скорость автономной системы зависит только от точки x (но не от момента t прохождения через нее решения x), поэтому временн´ая параметризация фазовой траектории задается, по меньшей мере, с точностью до аддитивной постоянной, что и утверждает

Лемма 117. Если x — решение системы (92), то для любой константы C R функция

y(t) ≡ x(t + C), t R,

— также ее решение.

Если x˙ (t) = f (x(t)), то y˙ (t) = x˙ (t + C) = f (x(t + C)) = f (y(t)).

III. При непрерывности правой части автономной системы через каждую точку ее фазового пространства проходит хотя бы одна фазовая кривая (теорема Пеано), а при непрерывной дифференцируемости — не более одной, как показывает следующая

Лемма 118. Если f C1(G) и фазовые траектории решений x1, x2 Sf (G) имеют общую точку

то при соответствующих сдвигах времени они совпадают:

Если x1, x2 — решения, то по лемме 117 функции x1(t + t1) и x2(t + t2) — тоже решения, а из совпадения (93) их начальных значений в момент t = 0 следует, в силу теоремы 18, их полное совпадение (94).

4)Менее информативный, чем вектор фазовой скорости.

40