!Механика и электродинамика / Лабораторные работы / LAB11

8

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 11.

НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Цель работы: изучение зависимости периода колебаний матема– тического маятника от угла отклонения.

Оборудование: установка, электронный миллисекундомер, ручной секундомер.

Продолжительность: 4ч.

Теоретическая часть.

В данной работе изучается зависимость периода колебаний математического маятника от угла отклонения. Математическим маятником называют тяжелое тело, подвешенное на легкой и нерастяжимой нити, размерами которого можно пренебречь по сравнению с длиной нити. На рисунке 1 изображен маятник, совершающий колебания в плоскости XY.

Отклонение маятника от положения равновесия можно характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы

Рис.1. Силы, действующие на математический маятник при его

отклонении на угол .

силы тяжести относительно точки подвеса О, равный по величине mglsin (m – масса, l – длина нити маятника). Направление момента силы такое, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия. При этом проекции момента силы и углового смещения на ось Z имеют противоположные знаки (см. рис.1). Следовательно, выражение для проекции момента силы на ось Z имеет вид:

.

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив проекцию углового ускорения через и учитывая, что момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, равен ml², получим:

ml² = –mglsin.

Последнее уравнение можно привести к виду:

 +, (1)

где ₀² =.

При малых значениях угла  можно линеаризовать это уравнение, заменяя в нем sin на . В результате получается:

,

Это уравнение описывает гармонические колебания:

с периодом

, (2)

не зависящим от амплитуды _m колебания маятника.

Если же угол отклонения нельзя считать малым, т.е. в уравнении (1) sin нельзя заменить углом , колебания маятника будут негармоническими. Для нахождения периода таких колебаний перепишем уравнение (1) в виде:

, (3)

где

(4)

угловая скорость движения маятника.

Умножим и разделим левую часть уравнения (3) на

.

Преобразуем это уравнение с учетом (4) к виду:

. (5)

Рассматривая переход маятника из произвольного положения в крайнее верхнее, найдем с помощью уравнения (5) зависимость угловой скорости  движения маятника от угла отклонения . Пусть в произвольный момент времени угол отклонения маятника равен , а угловая скорость маятника в этот момент равна .. В момент остановки угол отклонения маятника равен _m, а угловая скорость равна нулю. Тогда интегрируя уравнение (5)

,

получим

. (6)

Решая совместно уравнения (4) и (6), находим

. (7)

Рассмотрим теперь переход маятника из равновесного положения в крайнее верхнее. В начальный момент времени t = 0 угол отклонения маятника  = 0. В конечный момент времени t = угол отклонения

 = _m (Т – период колебаний). Интегрируя уравнение (7)

,

и учитывая, что , где Т₀ – период гармонических колебаний, определяемых уравнением (2), получим:

. (8)

Решая это уравнение, для периода колебаний получим следующее выражение:

. (9)

Вывод этой формулы приведен ниже в приложении.

Справедливость выражения (9) проверяется в данной работе. Однако (9) также как и (2) получены в предположении, что колебания незатухающие, т.е. нет потерь механической энергии. В реальных условиях на маятник кроме силы тяжести и силы натяжения нити действует сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорциональной скорости движения маятника.

Найдем, как эта сила влияет на период колебаний маятника. Действие силы сопротивления приводит к потере механической энергии и вместо незатухающих гармонических колебаний вида:

наблюдаются затухающие гармонические колебания, описываемые уравнением:

,

где – частота незатухающих колебаний, –коэффициент затухания,

 – частота затухающих колебаний,  – начальная фаза колебаний.

Частоты  и ₀ связаны соотношением:

.

Возведя правую и левую части этого уравнения в квадрат, и учитывая что , получим:

.

После несложных преобразований это выражение можно привести к виду:

или

.

В реальных условиях колебания затухают слабо, поэтому можно считать с большой степенью точности, что и . С учетом этого последнее выражение можно преобразовать к виду:

. (10)

Таким образом, экспериментально измеряя зависимость периода колебаний от угла отклонения маятника, необходимо оценить, какой вклад в полученную величину периода вносит сила сопротивления воздуха.

В данной работе изучаются колебания маятника, который представляет собой стальной шарик, подвешенный на двух нитях, благодаря этому фиксируется плоскость колебаний. Снизу в шарик ввинчен штырь, пересекающий в ходе колебаний луч света фотодатчика.

Для определения периода колебаний в установке используется электронный секундомер, который устроен так, что он включается при первом пересечении маятником светового луча фотодатчика и выключается при третьем пересечении. Этим достигается измерение периода колебаний. Благодаря большой точности измерений периода, оказывается возможным измерить, в общем–то, несильную зависимость периода колебаний от угла отклонения.

Экспериментальная часть.

Упражнение 1. Оценка влияния сил сопротивления на период колебаний маятника.

В этом упражнении рассчитывается относительное изменение периода колебаний маятника , связанное с силой сопротивления воздуха. Для этого, как следует из уравнения (10), необходимо знать величины периода малых колебаний маятника Т₀ и коэффициента затухания .

Для измерения Т₀ отклоните маятник на угол   5⁰ и отпустите его. Нажмите кнопку  Сброс и запишите показания миллисекундомера.

Коэффициент затухания  обратно пропорционален промежутку времени , за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е 2.7)

, (11)

поэтому для определения  измерьте время . Для этого отклоните маятник на угол, например 27⁰, и с помощью ручного секундомера определите время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в е раз. С помощью уравнения (11) рассчитайте величину .

Зная величины Т₀ и , с помощью уравнения (10) рассчитайте относительное изменение периода колебаний.

Упражнение 2. Определение зависимости периода колебаний от угла отклонения маятника.

Измерьте периоды колебаний маятника Т для пяти значений угла отклонения _m в диапазоне от 20⁰ до 40⁰. Для этого отклоните маятник и, убедившись, что он совершает колебания с нужной амплитудой, нажмите кнопку Сброс – произойдет измерение периода колебаний. Измерения провести не менее трех раз.

Для каждого значения угла рассчитайте относительное изменение периода колебаний (величину Т₀ возьмите из первого упражнения). Сравните полученные значения с относительным изменением периода, вычисленного в первом упражнении. Если эти значения одного порядка, найдите их разность. По результатам расчета постройте график зависимости от . Как следует из уравнения (9), эта зависимость должна быть линейной:

. (12)

Убедитесь в этом. Определите значение углового коэффициента прямой к оси ординат и сравните полученное значение с теоретическим, которое, как это следует из выражения (12), должно быть равно .

В том случае, если эти значения совпадают в пределах погрешности, можно сделать вывод о том, что полученная выше формула (9) справедлива.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Вывод формулы (9).

Найдем приближенное решение уравнения (8):

. (13)

Воспользовавшись разложением cos  в ряд:

,

и ограничиваясь тремя членами этого разложения, для разности косинусов

получим следующее выражение:

.

Тогда подинтегральная функция принимает вид:

. (14)

Разложим второй множитель в правой части этого уравнения в ряд:

. (15)

Подставляя (14) и (15) в (13), получим:

. (16)

Интегралы, стоящие в правой части этого уравнения, табличные и они равны соответственно:

.

Подставляя значения интегралов в (16), получаем:

.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. САВЕЛЬЕВ И.В. Курс физики. М., Наука, 1989, т.2, § 64, 65.