!Оптика и квантовая механика / Задачи / 09 / Задачи / zan21_22

и

.

Из этих уравнений получим соответственно:

(учитывая что энергия движущейся частицы положительна и корень извлекается из отрицательного числа) и (учитывая, что в первом случае и корень извлекается из отрицательного числа). Тогда решения уравнений будут выглядеть так:

Частицы отражаются от барьера, значит , но в барьере они движутся только в положительном направлении, тогда . Из условия непрерывности волновой функции на границе получаем:

(1)

Из условия гладкости производная должна быть непрерывна, тогда

(2)

Тогда зная, что коэффициент отражения от барьера , из (1) получаем . При подстановке этого выражения в (2) найдем :

. 

б) При частицы проникнут в барьер и могут двигаться в обе стороны, тогда и

(поскольку то корень извлекался из положительного числа)

Поскольку должно быть конечно везде, то также должно быть конечно, тогда, учитывая, что при стремлении в бесконечность аргумента экспонента также стремится к бесконечности, получаем, что

.

Плотность вероятности равна

Нам необходимо найти , удовлетворяющее условию , тогда

. 