!Оптика и квантовая механика / Задачи / 09 / Задачи / zan21_22

Занятия 21, 22.

№6.80

Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с и составляет .

Решение:

Чтобы вычислить длину ямы, получим сначала выражение для энергии электрона в зависимости от уровня, на котором он находится. Рассмотрим уравнение Шредингера внутри ямы:

.

По условию, внутри ямы , тогда примем и с учетом одномерности запишем:

.

Для решения этого дифференциального уравнения, проведем аналогию с уравнениями вида , для которых решение следует искать в виде , тогда

.

Рассмотрим две граничные точки, в которых волновая функция ввиду ее непрерывности должна быть равна нулю:

: ;

: .

Вспоминаем, что в наших обозначениях , тогда

.

. 

№6.79 Найти частное решение временного уравнения Шредингера для свободно движущейся частицы массы .

Решение:

Решение уравнения будем искать в виде: . Подставив это выражение во временное уравнение Шредингера, получим:

. 

№6.81 Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины l с абсолютно непроницаемыми стенками (). Найти вероятность пребывания частицы в области .

Решение: Согласно физическому смыслу -функции, вероятность нахождения частицы в элементарном объеме описывается выражением:

.

Наша задача – получить решение уравнение Шредингера для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Запишем уравнение Шредингера:

.

С учетом того, что в яме потенциальная энергия частицы = 0, запишем:

.

Решение последнего дифференциального уравнения нужно искать в виде:

.

Рассмотрим два граничных условия:

1) т.к. при ;

2) т.к. при , имеем:

,

причем , т.к. получится, что частицы нет ни внутри ямы, ни за ее пределами. Значит, волновая функция имеет вид:

.

Найдем константу . Из условий нормировки получим:

Таким образом, собственные функции имеют вид:

.

Теперь чтобы найти вероятность нахождения частицы в заданной области, нужно просто взять определенный интеграл:

. 

№6.82 Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы.

Решение: Как известно (см. задачу 6.81), пси-функция частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, если начало координат совпадает с одной из границ ямы, выглядит следующим образом:

.

Очевидна замена переменной – переход к «штрихованной» системе отсчета, где за начало отсчета принята середина ямы:

.

Отсюда легко можно получить выражение для пси-функции в новой системе отсчета:

На самом деле, при четных и нечетных n будет наблюдаться чередование знака соответственно перед синусом и косинусом. Но, как известно, пси-функция определена с точностью до множителя, модуль которого = 1, т.е. домножение на (равно как и на , или на ) роли не играет. 

№6.85 Частица массы m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти:

а) возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны , ;

б) значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороной .

Решение: а) Запишем уравнение Шредингера:

Будем искать решение этого уравнения в виде . Из условий следует, что начальные фазы синусов равны нулю. Убеждаемся, что это выражение действительно является решением уравнения Шредингера. После подстановки и сокращения на , получим:

.

Снова обратимся к условию непрерывности -функции на границе ямы:



б) Если яма квадратная со стороной l, то последнее выражение для энергии, полученное в пункте а) приобретает вид:

.

Т.к. частица находится в потенциальной яме, . Тогда:

1. ;

2. , однако это будут два различных состояния, поскольку они описываются двумя различными -функциями!

3. ;

4. .

Замечание: Очевидно, на границе потенциальной ямы нарушается условие гладкости пси-функции:

,

т.е. по идее, вне ямы производная пси-функции (которая тождественно = 0) равна нулю, а на границе равна некоторой константе. Дело в том, что потенциальная яма с бесконечно высокими стенками есть некая идеализация, на практике не осуществимая. В случае потенциальной ямы со сколь угодно высокими, но не бесконечно высокими стенками условие гладкости будет выполняться. 

№6.92 Найти возможные значения энергии частицы массы , находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме при и , для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией , зависящей только от .

Решение:

Запишем уравнение Шредингера:

,

поскольку сказано, что в яме . Воспользуемся выражением лапласиана в полярных координатах:

.

Теперь в соответствие с указанием воспользуемся подстановкой :

.

Сделав замену и продолжая выкладки, получим:

.

Решение этого дифференциального уравнения будем искать в виде , т.е. . Из условия конечности функции в точке следует, что . Из условия ,

Вспоминаем, что такое :



№6.95 Волновая функция частицы массы m для основного состояния в одномерном потенциальном поле имеет вид , где A и – некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную и энергию E частицы в этом состоянии.

Решение:

Запишем уравнение Шредингера с учетом того, что яма одномерная:

.

Подставим сюда выражение для , которое нам дано по условию:

.

Теперь вспоминаем, что энергия частицы в потенциальном поле – величина дискретная, не зависящая от , тогда из последнего выражения получаем:

.

Введя обозначение , получим, что . Теперь можно найти выражение для энергии частицы в этом состоянии:

. 

№6.96 Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого волновая функция имеет вид , где A, a и – некоторые постоянные.

Решение:

Запишем уравнение Шредингера:

.

Воспользуемся выражением лапласиана в полярных координатах:

.

Поделим все выражение на и учтем, что - энергия взаимодействия электрона с ядром, получим:

Энергия частицы в потенциальном поле – величина дискретная, не зависящая от , тогда из последнего выражения получаем:

.

Найдем из системы уравнений выше величину :

,

тогда искомая энергия электрона равна:

. 

№6.97 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид , где - некоторая постоянная, - первый боровский радиус. Найти:

а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;

б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;

в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

Решение:

а) Как известно, вероятность нахождения частицы в элементарном объеме определяется выражением:

,

где в нашем случае - элементарный шаровой слой, тогда

.

Таким образом, чтобы найти наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром, нам нужно найти максимум функции, отвечающей за плотность вероятности того факта, что частица находится на расстоянии от ядра:

,

т.к. нас интересует максимум функции. 

б) Как известно, среднее значение некоторой величины в состоянии, описываемом некоторой функцией , может быть вычислено по формуле , тогда, т.к. ,

.

Константу определим из условия нормировки -функции:

. 

в) Аналогично поступаем с потенциальной энергией электрона в поле ядра :

=.

Подставив уже известное А, получим:

. 

№6.102 Частицы массой и энергией движутся слева на потенциальный барьер (см рис.). Найти:

а) коэффициент отражения этого барьера при ;

б) эффективную глубину проникновения частиц в область при , т.е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз.

Решение:

а) Запишем уравнение Шредингера для этой частицы до и после барьера, учитывая, что ее потенциальная энергия до барьера равна 0, а после барьера - :

и

Будем искать решения уравнения вида:

.

Подставим в уравнение Шредингера, тогда

.