!Оптика и квантовая механика / Задачи / 09 / Задачи / zan17

Занятие 17.

№6.3

На какое минимальное расстояние приблизится -частица с кинетической энергией (при лобовом соударении):

а

) покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;

б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру

Решение:

а) Так как ядро атома свинца много тяжелее -частицы, будем считать, что оно не двигается под действием -частицы. -частица остановится (расстояние между частицами будет минимальным), когда ее кинетическая энергия целиком перейдет в энергию взаимодействия с ядром атома свинца (учтем, что , - заряд -частицы):



б) Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когда их скорости сравняются. Действительно, в противном случае частицы будут либо еще сближаться, либо уже отдаляться: . Из закона сохранения энергии:

.

Из закона сохранения импульса,

;

Т.к. до соударения частица обладала энергией , ;



№6.18

Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением , теряет энергию на излучение по закону , -заряд электрона, -скорость света, (СИ) или (СГС). Оценить время, за которое энергия электрона, совершающего колебания близкие к гармоническим с частотой , уменьшится в раз.

Решение: Колебания, близкие к гармоническим (затухающие колебания), – это колебания, у которых амплитуда зависит от времени. Такие колебания описываются уравнением:

.

Продифференцируем это уравнение два раза по времени, пренебрегая слагаемыми, содержащими ввиду малости убывания амплитуды (колебания близки к гармоническим!), получим:

Полная энергия электрона (сумма кинетической и потенциальной энергии), как известно, выражается следующей формулой:

,

т.к. - коэффициент квазиупругой силы (ведь электрон совершает колебания!). В формуле , обозначим , тогда . Подставляя в эту формулу выражение для ускорения, получим:

Как было показано выше, , тогда

.

Т.к. и , можно пренебречь слагаемым , тогда



№6.19 Воспользовавшись формулой из задачи 6.18, оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по круговой орбите радиуса , упал бы на ядро. Считать, что в любой момент падения электрон движется равномерно по окружности соответствующего радиуса.

Решение:

Зависимость полной энергии электрона от радиуса имеет вид:

Запишем второй закон Ньютона для движения электрона:

.

С учетом того, что - центростремительное ускорение, запишем:

.

Подставив полученное выражение в формулу для полной энергии электрона, получим:

.

Продифференцируем это выражение по времени и приравняем результат к формуле из условия:

Подставив выражение для ускорения, получим:



№6.23 Найти для водородоподобного иона радиус боровской орбиты и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты атома водорода и иона .

Решение:

Согласно условию Бора, возможны только такие орбиты, для которых:

,

где . Уравнение движения электрона вокруг ядра атома имеет вид:

.

Исключив из этих уравнений v, получим:

, .

Для атома водорода, подставив значения и , получим:

, .

Для иона гелия, подставив значения и , получим:

, . 

№6.24

Определить -круговую частоту обращения электрона на круговой боровской орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона при .

Решение:

По определению, . Используя результат предыдущей задачи,

.

Подставив для значения , , получим нужный ответ. 

№6.25

Определить для атома водорода и иона : энергию связи электрона в основном состоянии, потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны головной линии серии Лаймана.

Решение: Внутренняя энергия атома складывается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно) и потенциальной энергии взаимодействия с ядром:

.

Из уравнения движения электрона, .

Следовательно,

.

Из условия квантования момента импульса, .

Подставляя это выражение в уравнение движения электрона, получим:

.

Энергия связи – это энергия, которую нужно затратить, чтобы унести электрон с первого энергетического уровня на бесконечность:

, где и или ,

где - постоянная Ридберга. Теперь можно найти потенциал ионизации:

.

По определению, первый потенциал возбуждения имеет вид:

.

Головная линия серии Лаймана – переход электрона со второго уровня на первый:

, , тогда . 

№6.26

Какую наименьшую энергию надо сообщить иону , находящемуся в основном состоянии, чтобы он смог испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера?

Решение: Чтобы ион смог испустить такой фотон, надо перевести электрон на 3 уровень:

или . 

№6.31

Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на энергетический уровень?

Решение: Поскольку электрон в атоме водорода может перескочить с любого уровня на любой ниже, то количество спектральных линий будет равняться количеству соединений между уровнями будет равно . 

№6.38

Энергия связи электрона в основном состоянии атома равна . Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.

Решение: Для того, чтобы удалить один электрон, нужно затратить энергию равную его энергии связи = . После удаления одного электрона, получаем водородоподобный атом в основном состоянии. Чтобы удалить второй электрон надо затратить энергию:

,

где , и для ядра атома гелия, т.е.

.

Итак, всего мы затратим энергию . 