!Оптика и квантовая механика / Задачи / 11 / zan10

Занятие 10.

№ 5.169

Плоская монохроматическая волна естественного света с интенсивностью падает нормально на круглое отверстие, которое представляет собой первую зону Френеля для точки наблюдения Р. Найти интенсивность света в точке Р после того, как отверстие перекрыли двумя одинаковыми поляризаторами, плоскости пропускания которых взаимно перпендикулярны, а граница их раздела проходит:

а) по диаметру отверстия;

б) по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля.

Решение:

а) Как известно, интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, становится равной ; соответственно, амплитуда становится равной . Поскольку отверстие перекрыто по диаметру, в образовании дифракционной картины будет принимать участие вся первая зона Френеля. Поляризатор, перекрывающий правую часть отверстия (см. рисунок), даст -вклад в образование результирующей амплитуды, причем амплитуда этого вклада равна, как следует из рисунка, . Поляризатор, перекрывающий левую часть отверстия, даст точно такой же -вклад в образование результирующей амплитуды, тогда

. ■

б) Поскольку отверстие перекрыто по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля, в образовании составляющей результирующей амплитуды будет принимать участие первая половина первой зоны Френеля, в образовании составляющей – вторая половина. Как следует из рисунка, амплитуды составляющих:

.

И опять же эти составляющие перпендикулярны, поскольку перпендикулярны плоскости пропускания поляризаторов. Тогда для результирующей амплитуды имеем:

. ■

№ 5.170

Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью . Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке .

Решение:

Как известно, световая энергия, падающая за элементарное время на элементарную площадку , может быть найдета по формуле:

,

где вектор Пойнтинга . Т.к. свет падает перпендикулярно диску, выражение для энергии, падающей на всю поверхность диска за элементарное время может быть переписано в виде:

.

Найдем модуль вектора Пойнтинга:

,

где - угол между направлением пропуская поляризатора и направлением поляризации падающего светового пучка в данный момент времени, - амплитуда падающего света. Т.к. падающий свет линейно поляризован, для его интенсивности можно записать:

,

т.к. в данном случае . Тогда выражение для энергии перепишем в виде:

.

По определению потока:

.

Т.к. для падающего света , , свет падает перпендикулярно поверхности диска, , поток падающего света равен:

.

С учетом всего вышесказанного, а также того, что , выражение для энергии приобретает вид:

.

Проинтегрировав, найдем полную энергию:

. ■

№ 5.172.

Пучок естественного света падает на систему из поляризаторов, плоскость пропуская каждого из которых повернута на угол относительно плоскости пропускания предыдущего поляризатора. Какая часть светового потока проходит через эту систему?

Решение:

Световой поток (поток световой энергии) связан с вектором Пойнтинга, который, как известно, представляет собой плотность потока энергии. Вектор Пойнтинга, в свою очередь, пропорционален квадрату амплитуды, а следовательно, интенсивности. Тогда можно записать:

.

По закону Малюса, .

После прохождения первого поляризатора, свет становится линейно поляризованным с интенсивностью . После прохождения каждого из последующих поляризаторов интенсивность света будет меняться в соответствии с законом Малюса:

. ■

№ 5.174.

Степень поляризации частично поляризованного света . Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей .

Решение:

Как известно, частично поляризованный свет можно схематично изобразить так, как это показано на левой части рисунка, где - линейно поляризованная составляющая, - естественная составляющая, направление которой хаотично меняется. По определению степени поляризации частично поляризованного света,

.

Поставим на пути нашего пучка света поляризатор (правая часть рисунка) и определим и . Пусть поляризованная составляющая света составляет с направлением поляризации поляризатора угол , произвольный цуг естественного света – угол . Тогда, для света, вышедшего из поляризатора, запишем:

,

где - поляризованная составляющая света, проходящего через поляризатор, - естественная составляющая. Угол между ними равен нулю, поскольку из поляризатора выходит свет, поляризованный в одном направлении. Составляющие вышедшего из поляризатора света соответственно равны:

, ,

тогда для интенсивности света, вышедшего из поляризатора, можно записать:

Для естественного света все направления равнозначны; усредним полученное выражение по :

.

Отсюда находим искомое отношение:

. ■

№ 5.180.

Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла. Определить с помощью формул Френеля:

а) коэффициент отражения;

б) степень поляризации преломленного света.

Решение:

Выпишем все формулы Френеля:

а) Пусть . По определению, . Если угол между плоскостями падения неполяризованного света и плоскостью поляризации равен - некоторому углу, отличному от нуля, то (см. лекцию 9)

.

Выражения для и , составляющих коэффициента отражения, получаются из формул Френеля:

Из определения угла Брюстера следует, что , тогда , тогда:

. ■

б) По определению степени поляризации, . Т.к. нас интересует степень поляризации преломленного света, то по формулам Френеля, имеем:

Выражение для Р можно переписать в виде: ,

т.к. из формул Френеля следует, что в преломленной волне преобладает составляющая, поляризованная в плоскости падения света (в отличие от отраженной волны). Тогда из 2 и 4 формул Френеля запишем:

.

Отсюда найдем :

. ■