Стационарные состояния. Уравнения Шредингера для стационарного состояния.

Если силовое поле стационарно, то есть потенциальная энергия Uне зависит от времени, то полная энергия сохраняется (то есть она равна константе) и волновую функцию можно представить в виде:

(1), то есть зависимость от времени экспоненциальная.

Подставим выражение (1) в уравнение Шредингера:

, сокращая множители приходим к уравнению Шредингера в стационарном состоянии

(2), где, то есть не зависит от времени.

Это уравнение записывается еще в виде:

, где- гамильтониан.

и следовательно.

Ψ-функция и ее физический смысл:

Так вот, Шредингер вначале сам дал не совсем правильный, но очень близкий к истине ответ о физическом смысле волновой функции. Он сказал, что электрон в атоме не существует как частица, а расплывается в некое облако, форма и плотность которого определяются этой ψ-функцией следующим образом: плотность этого электронного облака это есть , или что то же самое. Это сказал Шредингер. Но правильную интерпретацию дал Макс Бором. Он анализируя опыты по дифракции электронов: вот летят электроны и попадают на экран. Так вот Бором пришел к выводу, что волны Де Бройля – это есть волны вероятности, и они характеризуют движение отдельного электрона, а в частности – вероятность попадания этого электрона в определенную точку на экране

.

Он утверждал, что вероятность найти электрон в окрестности точки с координатами равна:

, гдееще называют амплитудой вероятности, и она находится из решения уравнения Шредингера.

Вывод: и в атоме электрон можно представить в виде частицы с вероятностной природой его волновых свойств. Где плотность вероятности - это.

Свойства ψ-функции:

1. Непрерывность (сами дома подумайте;)

2. Ограниченность

3. Однозначность

4. Гладкость (должна иметь непрерывную первую производную)

5. Нормированность () (хотя иногда приходится использовать и ненормированные функции)

6. Допускается умножение на комплексное число, модуль которого равен единице (на ), так как это не влияет на квадрат ее амплитуды

7. Если известна ψ-функция, то можно определить среднее значение любой функции координат и времени в состоянии, описываемом даннойψ-функцией:

- в общем случае и, еслиψ-функция - нормированная

А также можно определить и среднее значение любой физической величины, представленной оператором:

- такое обозначение.

6