!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 13_no_sound

Лекция 13

Формула Релея-Джинса

Релей и Джинс попытались объяснить зависимость от частоты, исходя из волновой теории света. Используя закон о распределении энергии по степеням свободы. На колебательную степень свободы приходится энергии.

Рассмотрим тело с абсолютной отражательной способностью. Рассмотрим излучение полости, имеющей форму параллелепипеда.

(1)

Это излучение представляет собой совокупность стоячих волн.

P.S. Стоячая волна, это волна, энергия которой удовлетворяет уравнению:

Запишем аналогичное уравнения для нашей волны, которое является решением (1):

(2). Тогда и , то есть волновой вектор . Подставим координаты , и :

, где

, где

, где

При этом , и не зависят друг от друга. Из этих уравнений получаем

(3)

Определим -пространств – пространство, в котором по осям откладываются , и . Это пространство заполнено точками, удовлетворяющими соотношению (3). Каждая точка соответствует одному решению уравнения (2).

Проведем сферу радиуса . Возьмем одну восьмую этой сферы. Ее объем мы знаем. Поделим на объем, который приходится на каждую точку:

(?); ;

Тогда число точек полости в диапазоне частот будет равно:

С учетом этого в одном направлении будут распространяться две волны с взаимно перпендикулярной поляризацией. Число стоячих волн или степеней свободы равно:

(4)

или плотность волн:

(5)

Число стоячих волн в интервале в единице объема равно:

(6)

На каждую стоячую волну в среднем приходится энергия (колебательная степень свободы).

следовательно

(7) – Формула Релея - "ультрафиолетовая катастрофа"

При малых частотах хорошее согласие с опытом, но при больших частотах – резкое расхождение – ультрафиолетовая катастрофа. То есть - расходится со страшной силой!

Гипотеза Планка. Формула Планка

Гипотеза Планка: Излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Энергия в полости может принимать только дискретные значения: , , , ..., .

При тепловом равновесии распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана, то есть вероятность состояния со значением энергии составляет:

, где - коэффициент, который определяется из условия нормировки: , то есть:

. Тогда и

Далее

Таким образом , и тогда , следовательно

(1), а за x мы обозначали , поэтому

(2)

(3)

При формула (3) превращается в формулу (7) из предыдущего параграфа.

Планк определил из сопоставления с экспериментом кривой. На правом(?) краю . Видно, что для согласия формулы (3) с экспериментом, необходимо, чтобы , где Дж/с. Тогда формула Планка будет выглядеть следующим образом:

(4)

Формула Планка хорошо согласуется всюду с экспериментом, следовательно, из нее вытекает закон Стефана-Больцмана и формула Вина.