Уравнение Шредингера.

Это уравнения является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно было установлено на основе некоей оптико-немеханической аналогии. На прошлой лекции мы обсуждали дуализм и говорили, что согласно Де Бройлю частица наряду с корпускулярными свойствами обладает и волновыми. Отсюда Шредингер предположил, что любое движение частиц можно уподобить распространению волн, то есть в вакууме электроны существуют не в виде частиц, движущихся по траекториям, а в виде неких волн, смысл которых (ну вначале не очень был понятен ему самому;), короче просто в виде волн. Шредингеру стало понятно, что какова бы не была природа этих волн (квантовую механику называют еще волновой механикой), их движение (этих частиц и волн) должно подчиняться некоторому уравнению, и он нашел это уравнение. В общем виде, это волновое уравнение Шредингера выглядит следующим образом:

(1), сей треугольник - это конечно же не погрешность, а лапласиан:

(2).

- (в общем случае) потенциальная энергия поля, в котором находится наша частица.

- волновая функция илиψ-функция.

Уравнение (1) – это общее уравнение нерелятивистской квантовой механики. Только самое сложное – это понять, что из себя представляет ψ-функция. Пока что примем, чтоψ-функция как-то представляет движение электрона в атоме. То есть, на самом деле, многие считают, что квантовая механика – это набор неких правил и респектов. Так вот во многом это так, действительно. Часто делаются утверждения, которые ниоткуда не вытекают, не из какой логики, а вот так все устроено, что это все можно писать таким образом. Тут со многим придется смиряться. Так же и сейчас мы примем, что волновая функция как-то представляет движение электрона в атоме. Осмыслим это потом. Дело в том, что вначале и Шредингер истолковал смысл этой функции немного неверно.

К уравнению Шредингера можно прийти следующим образом. Это показательство, никакой доказательной силы это не имеет, но чтобы не было какого-то калечения мозга, записал вот так, смотрите и все. Вы сейчас поймете, как можно было догадаться (Шредингер не таким образом пришел к этому уравнению;), а заодно кое-что выяснится еще.

1) Рассмотрим свободную частицу. Согласно теории Де Бройля ей можно сопоставить волну. Эту волну мы напишем в комплексном виде:

(3)

Я понимаю, что вы можете воскликнуть: "А почему здесь стоит знак минуса?! Он там вроде бы не нужен?", но вот в квантовой механике принято показатель экспоненты брать со знаком минус, ну вы помните, что в методе комплексных амплитуд это неважно: ну косинус есть функция четная, вот в квантовой механике вот так вот и все;), принято так. Теперь давайте перейдем в выражении (3) от ик характеристикам частицы, то есть к энергии и к импульсу. Как мы это сделаем? Ну очень просто: мы запишем

(),надо об этом говорить? Не надо! Потому что помните, чтодля фотона, а тут мы наоборот делаем. Так вот, если мы такое сделаем, то выражение (3) у нас превратится вот во что:

(4)

Вы помните, как мы уравнение волны получать? Уравнение волны было, потом мы его дифференцировали, получали по координате, потом по импульсу, потом сравнивали, потом получали уравнение. Сейчас поступим таким же образом, то есть традиционно. Продифференцируем выражение (4) по времени и по координатам .

(5). Придадим ему следующий вид:

(6). Теперь продифференцируем по координате, допустим по:

(7). Или это будет:

(8). Если сделать то же самое пои по, тогда получится то же самое.

Сейчас идеякакая: воспользуемся соотношением нерелятивистской механики, в котором

(9). Продифференцируем выражение (8) второй раз по:

(10). То же самое будет и дляи. Теперь воспользуемся соотношением (9):

, а это ни что иное как. Прошу сделать мысленное усилие и проделать то же самое дляи.

Тогда учитывая формулы (6) и (10), запишем это в следующем виде:

Или, учитывая (2), получим:

- вот для свободной частицы, когда.

В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия частицыE- это будет не только кинетическая энергия, но и потенциальная энергияU(то есть энергия и импульс связана следующим соотношением):

(11). Давайте сделаем опять же тот же самый прием: умножим правую и левую части на:

. Воспользовавшись далее соотношениями (7) и (10), получим:

Вот таким образом можно прийти к этому уравнению. Этот путь аналогичен тому пути, когда мы получали волновое уравнение: написав уравнение волны мы дальше получали волновое уравнение. Только здесь мы воспользовались соотношением (11). Разумеется, что приведенные выше рассуждения не имеют никакой доказательной силы, их цель – пояснить, каким образом можно прийти к уравнению Шредингера. Обязательно обратим внимание на следующие обстоятельства: выражения (6) и (7) свидетельствуют о том, что величинеEможно сопоставить оператор, который есть, а величинеможно сопоставить оператор. В общем случае импульсуможно сопоставить оператор, потом мы поймем, почему координатуи импульснельзя измерять одновременно (скажу сразу: потому что операторыине коммутируют;).

Правило 1: В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор.

Оператор– правило, посредством которой одной функциисопоставляется другая.

Самые простые виды операторов – это дифференциальные операторы. В некоторых случаях действие оператора подразумевает просто умножение на функцию. В нашем случае оператор потенциальной энергии – это просто помножение на нее.

Таким образом

- в общем случае.