Лекция 16

Соотношение неопределенностей

Изенберг утверждал: нельзя одновременнои при этомточноизмерить координатуи импульсквантового объекта. При одновременном их использовании они имеют ограниченный смысл. Изенберг показал, что если мы знаем положениеxи импульсp_xобъекта, погрешностии, то мыпринципиальноне можем уточнять эти значения беспредельно, а лишь до тех пор, пока выполняется неравенство:

(1) –соотношение неопределенности.

Этот предел есть, но он мал и это принципиально. Пример:

Попробуем определить координату xчастицы, летящей со скоростью, поставив на ее пути щель шириной, причем наша щель будет перпендикулярна скорости частицы (как вы понимаете частица это це бы волна ;). До прохождения щели значениеp_xбыло равно нулю итоже было равно нулю, то есть было определено точно, но зато координатуxмы не знали. В момент прохождения частицы через щель ситуация меняется, то есть неопределенность координатыxточно равна(ширина щели), но импульсутрачивает свое определенное значение (частица на щели подобна волне, а волна то на щели ой как дифрагирует ;). Вследствие дифракции имеется вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла, где- угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами более высоких порядков, чем первый мы пренебрегаем – их интенсивность весьма мала). Падает волна (частица – она та же самая волна по гипотезе Де Бройля). Тогда из рисунка:

, где- "дебройлевская" длина волны.

Это конечно же не тождественное соотношение с неравенством (1), но порядки совпадают. Соотношения, аналогичные (1) выполняются и для других величин: . Величины, для которых выполняется соотношение неопределенностей, называются сопряженными. В установлении (1) была отброшена еще одна идеализация классической физики – было отброшено понятие траектории. Известно, что движение по траектории характеризуется определенными значениями координат и скоростей в каждый момент времени. Из соотношения (1) следует:

, то есть траектории в строгом смысле не существует.

Но чем больше масса, тем меньше неопределенности ии, следовательно, с большей точностью применимо понятие траектории. То есть для частиц размеров порядка микрона (инаходятся за пределами точности измерения) движение неотличимо от движения по траектории. Соотношения неопределенностей являются одними из фундаментальных положений квантовой механики и, используя их, можно очень просто получить ряд важных результатов.

Пример: Оценка минимальных размеров и минимальной энергии атома водорода.

Запишем общую энергию, как сумму кинетической и потенциальной энергий:

(в Гауссовой системе координат). Запишем соотношение неопределенностей:

. Формальный минимум будет при, а что это означает? Как мы обычно пишем:, а, аналогично и с радиусом. Тогда соотношение неопределенности запишется следующим образом:, откуда опять-таки в одно касание запишем:.

Теперь наши действия понятны: подставим импульс в кинетическую энергию, получим полную энергию, как функцию и дальше продифференцируем по радиусу, чтобы найти минимальную энергию. Вот и все.

.

Найдем , при котором энергия - минимальна:

(!) – это выражение совпадает с первым Боровским радиусом. Найдем теперь минимальное значение энергии:

(!) – это выражение совпадает с энергией основного состояния атома водорода, найденной еще Нильсом Бором.