Тема 2. Исследование устойчивости нелинейных систем первым методом Ляпунова

Пример 2.Исследовать первым методом Ляпунова устойчивость состояний равновесия системы, описываемой уравнениями

Найдем координаты состояния равновесия системыиз условийЭти условия эквивалентны равенству нулю правых частей уравненийОтсюда находим, что возможны два состояния равновесия

Оценим устойчивость первого состояния равновесия. Для этого составим линеаризованную систему уравнений в отклонениях

где

Получаем систему уравнений в виде

Сведем полученную систему к одному уравнению второго порядка. Для этого продифференцируем первое из уравнений системы и подставим в полученное уравнение выражения для ииз исходной системы

Получим уравнение

Так как коэффициенты уравнения, описывающего линеаризованную систему, имеют разные знаки, то линеаризованная система неустойчива (её характеристическое уравнение имеет корни разных знаков). Следовательно, исследуемое состояние равновесия нелинейной системы также неустойчиво.

Аналогично исследуем устойчивость второго состояния равновесия.

Линеаризованная система описывается уравнениями

Они сводятся к уравнению второго порядка

Все коэффициенты этого уравнения положительны. Таким образом, линеаризованная система устойчива. Следовательно, исследуемое состояние равновесия нелинейной системы также устойчиво (в малом).

Задание 2.Исследовать первым методом Ляпунова устойчивость систем, описываемых следующими дифференциальными уравнениями:

Тема 3. Исследование устойчивости состояний равновесия систем вторым методом Ляпунова

Пример 3.Проверить, является ли функцияфункцией Ляпунова и исследовать устойчивость состояний равновесия объекта, описываемого системой уравнений:

Функция

Следовательно, она является знакоопределенной функцией (координаты состояния равновесия: ). Ее полная производная по времени в состоянии равновесия

также является знакоопределенной функцией, причем ее знак противоположен знаку функции V. Следовательно, для исследуемого состояния равновесия приведенная функция является функцией Ляпунова, а само состояние равновесияасимптотически устойчиво.

Задание 3.Проверить, является ли функцияфункцией Ляпунова и исследовать устойчивость состояний равновесия систем, описываемых приведенной системой уравнений.

Описания систем взять из задания 2, № 1 - 30.

Тема 4. Исследование возможности возникновения автоколебаний и их устойчивости в нелинейной системе методом гармонического баланса

Пример 4.Определить возможность возникновения автоколебаний и их устойчивость в системе (рис. 3).

Построим АФХ линейного объекта и инверсную АФХнелинейного элемента (рис. 4).

Они пересекаются (в двух точках), следовательно, автоколебания в системе возможны. Начало координат теоретически соответствует колебаниям с бесконечной частотой и нулевой амплитудой. Точка N характеризует колебания с конечными амплитудой и частотой. Поскольку точкаM, соответствующая режиму с увеличенной амплитудой колебаний, не охватывается АФХ линейного объекта, то в системе возможны устойчивые автоколебания (им соответствует т.N).

Задание 4.Определить возможность и исследовать устойчивость автоколебаний в системе, приведенной на рис. 3. Параметры характеристик нелинейных элементов даны на рис. 5. Передаточные функции линейных элементов приведены в табл. 1.

Таблица 1