Курсовые / Колебания и волны в плазме / колебания и волны1
.docII. Колебания и волны в плазме в отсутствие магнитного поля.
Общий подход к описанию периодических колебаний и волн. Уравнения, описывающие движение плазмы, допускают периодические решения — колебания. В зависимости от типа возбуждения (граничных и начальных условий) периодически меняющимися величинами могут быть продольная или поперечная компоненты Е- и В-полей, значения ne, ni и другие параметры, определяющие локальное состояние плазмы. При классификации волн в плазме по характеристикам осциллирующих Е-, В-полей различают электромагнитные (возбуждаются колебания как Е, так и В) и электростатические (заметно осциллирует лишь Е). По взаимному расположению волнового вектора k и внешнего постоянного магнитного поля В0 различают параллельные (k || В0) и перпендикулярные волны (kВ0). Если в волновом движении участвуют лишь электроны, то волны — электронные, а если и электроны, и ионы, — ионные. Различие природы и спектрально-энергетических характеристик позволяет проводить их отождествление в реальных плазменных объектах.
Любое периодическое движение с помощью фурье-разложения можно представить в виде суперпозиции синусоидальных гармонических колебаний с различными частотами и длинами волн (или волновыми числами k =).
При малой амплитуде колебаний * n (где — «фоновое» значение осциллирующей величины , = *+) различные гармоники фурье-разложения не взаимодействуют друг с другом, и для описания колебаний достаточно проанализировать малые колебания гармонической формы
(r,t) = +*exp[i(kr + wt)] ; (2.1),
здесь k — волновой вектор, w — круговая частота колебаний, i — мнимая единица.
Физический смысл здесь имеет действительная часть Re () (мнимую часть после получения конечного результата не учитывают). Если колебания имеют постоянную амплитуду, то Re() = +*cos (kr + wt); если они затухают, то полагают, что w — комплексная величина, w = Re (w) + i, >0 —декремент затухания колебаний, функция
Re ()=+*exp(-tc)cos(kr + Re (w)t) экспоненциально уменьшается. Если происходит раскачка колебаний, то < 0, где — инкремент неустойчивости.
Точка постоянной фазы (например, узел = или гребень волны = + *) перемещается с фазовой скоростью, которая определяется из соотношения ph = w / k
Если w /k > О, то волна движется в направлении нарастания пространственной координаты, если w /k < 0 — в обратном направлении. Обычно считается w 0, а знак (+ или —) (и направление) приписывается k. Фазовая скорость волны в плазме может превышать скорость света с. Это не противоречит теории относительности, т.к. бесконечно длинный волновой пакет постоянной амплитуды не может переносить информацию, скорость передачи которой ограничена значением с. Информация содержится в нарушении периодичности, например в амплитудной модуляции, образованной сложением двух волн с близкими w и k (рис. 2.1), и передается с групповой скоростью g =w = dw | dk, а g с.
Рис. 2.1. Пространственное распределение электрического поля суммы двух волн с близкими частотами.
Фазовая скорость электромагнитной волны определяет показатель преломления среды: n = c / ph.
При п 0, т.е. ph, происходит отсечка электромагнитной волны в плазме; при п, т.е. ph 0, возникает резонанс. Если волна распространяется через плазменный объем с переменными локальными параметрами (ne, B0 и др.), то могут быть выполнены условия отсечки или резонанса (при этом в точке отсечки волна, как правило, отражается, а в резонансе — поглощается).
Фазовая и групповая скорости, декременты затухания, границы устойчивости и характерные времена развития неустойчивостей и другие характеристики колебаний описываются дисперсионным соотношением — зависимостью w = w (k). Для его получения решение в виде (2.1) при =const, *= const подставляется в систему уравнений, описывающую динамику плазмы в заданном диапазоне параметров и типе возмущений (например, систему магнитной гидродинамики, уравнение Власова и др.).
Взаимодействие волн с частицами и затухание Ландау.
При распространении в плазме электростатических волн на заряженные частицы действует периодическое по пространству и времени знакопеременное электрическое поле.
Если фазовая скорость гармонической волны ph намного меньше скорости заряженной частицы, то последняя (при отсутствии столкновений) совершает колебательные движения с малой постоянной амплитудой и с частотой волны w0 , обмен энергией с волной в среднем за период равен нулю.
В плазме с ненулевой температурой, однако, существует достаточно широкое распределение частиц по скоростям; для частицы, скорость i которой близка к фазовой скорости волны (резонансной частицы), поле меняется с частотой w' n w (при i = ph — w' = 0) и время действия положительной (отрицательной) полуволны электрического поля на частицу достаточно велико, чтобы она успевала заметно ускориться (замедлиться).
Поскольку время ускорения в полуволне Е-поля не равно в точности времени замедления (в противоположно направленной полуволне), вследствие конечного изменения скорости частиц при j < ph , в среднем по осцилляциям частиц j ускоряются, а при j > ph — замедляются.
Если среди частиц с j ph преобладают относительно более медленные частицы (j < ph), то затраты энергии на ускорение преобладают над высвобождением энергии за счет торможения (менее многочисленных) частиц с j >ph при этом расходуется энергия колебаний — происходит бесстолкновительное поглощение волны (затухание Ландау) (заряженные частицы с j ph движутся таким образом, что амплитуда волны Е-поля уменьшается).
Таким образом, различные возмущения и волны могут затухать и в бесстолкновительной плазме, в которой отсутствует хаотизация направленных скоростей частиц вследствие парных рассеяний. Достаточным условием затухания Ландау является монотонный спад функции распределения частиц по скоростям при j ph .
Это условие, в частности, всегда выполняется при равновесной, максвелловской функции распределения частиц.
В противоположном случае, когда среди квазирезонансных частиц быстрых (j >ph) больше, чем медленных (j <ph), преобладает замедление частиц, при этом их кинетическая энергия переходит в энергию волны — происходит нарастание амплитуды колебаний (квазирезонансные заряженные частицы движутся так, что их сгущения и разрежения сфазированы с волной и увеличивают ее амплитуду). Для этого необходимо, чтобы функция распределения в окрестности j ph нарастала с увеличением j . В результате такого взаимодействия плазмы и волны неустойчивое распределение частиц в окрестности ph эволюционирует к устойчивому — с = 0 («плато», волна распространяется без нарастания или затухания) или с < 0 (происходит затухание Ландау). Корректный анализ бесстолкновительного коллективного взаимодействия с плазмой гармонических малых электронных электростатических (плазменных) колебаний, основанный на кинетическом уравнении Власова и уравнениях Максвелла, приводит к декременту затухания Ландау вида
L = = ; (2.2*) ,
здесь f(v) — одномерное распределение частиц в направлении k. Например, в случае максвелловского распределения,
= , (2.3*)
декремент затухания Ландау равен
L = . (2.4*)
Из (2.4) видно, что при krD n 1 затухание Ландау мало, а при krD ~ 1 становится существенным.
Плазменные колебания и волны. Электрическое поле и локальный потенциал в плазме (даже при отсутствии внешнего возмущения) испытывают плазменные колебания, иллюстрацией чего служит «плазменный конденсатор» — тонкий (х < rD) плоский слой ионов и электронов; при смещении электронов (на расстояние х) относительно ионов возникает возвращающее электростатическое поле Е = neex /0 и под действием электростатических и инерционных сил me d2x/dt2 = E возбуждаются колебания электронов около положения равновесия (ионы можно считать покоящимися из-за того, что Мi . me).
Частота колебаний в «плазменном конденсаторе» равна плазменной частоте = [nee2/(me)]1/2. Частота плазменных колебаний совпадает с , если плазма столкновительная либо если в бесстолкновительной плазме Тe n Т'e. = me(3k)= 0,i = 0, и плазма является бесконечно протяженной; в этом случае не зависит от k, = d/dk = 0, т.е. пространственно-локализованное возмущение этим типом колебаний не распространяется.
В плазме с ТeТe', и Тe > Тe', возникает связь между колебаниями в соседних областях плазменного объема, объясняемая тем, что при тепловом движении электроны перемещаются и переносят информацию. Плазменные колебания в этом случае являются плазменными волнами; эти волны — продольные (v || k, E || k), электростатические (т.е. осциллирует Е-поле, а энергия переменного магнитного поля пренебрежимо мала), их дисперсионное соотношение
= ,
где Te = (2kBTe/me)1/2 — тепловая скорость. Частота в этом случае зависит от k, и групповая скорость имеет конечное значение (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Дисперсионная кривая для электронных плазменных волн (они же ленгмюровские колебания и волны Бома- Гросса
Плазменные волны существуют при > (рис.2.2). Максимальные фазовая и групповая скорости равны и достигаются при больших k (малых длинах волн ).
Декремент затухания этих волн
= L + s, L = ,
где L — декремент затухания Ландау, связанный с нелинейным взаимодействием волн и заряженных частиц, s — декремент затухания вследствие столкновений. Для слабоионизованной плазмы расчет в рамках динамики колебаний тау-приближения дает s = ea/2, т.е. в столкновительной плазме плазменные волны быстро затухают.
В сильноионизованной плазме
s = ei/2 , ei =
Распространение плазменных колебаний может быть обусловлено также ограниченностью плазменного объема: например, на рис. 2.3 показан плазменный цилиндр, в котором имеются области с положительными и отрицательными зарядами, создаваемые плазменными
колебаниями. Возникающее на торцах цилиндра электрическое поле приводит к тому, что появляется связь между отдельными слоями среды и возникают плазменные волны.
Рис. 2.3. Схема распространения плазменных колебаний в ограниченной среде, благодаря полям возникающим на границах системы
Волны Ван-Кампена. Волна Ван-Кампена есть модулированный пучок частиц, движущийся вместе с поляризационной волной, фазовая скорость которого совпадает со скоростью модулированного пучка. В волнах Ван-Кампена к резонансным частицам, захваченным волной из максвелловской плазмы, добавлены резонансные частицы модулированного пучка, компенсирующие затухание Ландау. В том случае, когда плотность модулированного пучка электронов не экспоненциально мала, волны Ван-Кампена заметно отличаются от ленгмюровских. Именно такие волны принято называть волнами Ван-Кампена в узком смысле этого названия. Спектр собственных продольных высокочастотных колебаний плазмы состоит из набора ленгмюровских волн и волн Ван-Кампена. Такой набор является полным, т.е. любое возмущение (в частности, начальное) можно разложить по этому набору функций.
Звуковые и ионно-звуковые волны. В столкновительной плазме (когда длина волны . l, l — длина свободного пробега), как и в обычном газе, распространяются звуковые волны со скоростью звука s
= (p0 /)1/2 s
здесь — эффективный показатель адиабаты, p0, — невозмущенные давление и плотность. В звуковой волне осциллируют концентрация тяжелых частиц (а также электронов вследствие квазинейтральности) и давление газа (плазмы), т.е. эти волны электростатические, ионные, параллельные.
В сильноионизованной плазме при нарушении условия > l, т.е. в бесстолкновительном случае, звуковые волны распространяться не могут, однако при Те . Тi импульс может передаваться от слоя к слою электростатическими силами, и тогда распространяются ионно-звуковые волны, в которых из-за квазинейтральности плазмы одновременно смещаются и электроны, и ионы; ионно-звуковые волны продольные (v || k, Е || k), электростатические (осциллирует Е-компонента электромагнитного поля). Скорость ионного звука
= (ekBTe /(1 + k2)) / Mi , (2.5)
где e 1 — эффективный показатель адиабаты неизотермичной плазмы. В пределе k частота ионно-звуковых колебаний стремится к ионной плазменной частоте pi = (рис.2.4), а при > pi на спектре ионно-звуковых колебаний имеется запрещенная зона (рис.2.4).
Рис. 2.4. Дисперсионная кривая для ионно- звуковых волн.
Возникшее под действием возмущения локальное увеличение ni сопровождается ростом nе (квазинейтральность плазмы), однако вследствие теплового движения электронов возникают разность потенциалов (равная kBТе) между областями сгущения и разрежения плазмы и соответствующее электростатическое поле. Колебания ионов происходят под действием возвращающей электростатической силы и сил инерции. Этому механизму соответствует первый член в (2.5); он определяется массой ионов и температурой электронов, т.е. ионно-звуковые волны существуют и при Тi = 0.
Декремент затухания ионно-звуковых волн в почти бесстолкновительной плазме
= L + s,
L = ,
здесь z — зарядовое число иона, ,— средние тепловые скорости электронов и ионов. В слабоионизованной плазме s = ia /2, в сильноионизованной — s = (4/5)iiTi /Te. Можно показать, что декремент затухания мал (т.е. колебания затухают слабо) лишь при условии Tе . Тi (точнее, Т е /Тi >6, 5).
Электромагнитные волны. Выше рассмотрено поглощение и испускание фотонов при парных (трехчастичных) рассеяниях, в основном сопровождающихся изменением внутреннего состояния частиц плазмы. Ниже рассматриваются коллективные процессы в плазме как системе свободных заряженных частиц. В этом случае проявляется не корпускулярная, а волновая природа электромагнитного (ЭМ) излучения. Эти процессы происходят, как правило, при частотах излучения порядка pi или ре, что соответствует обычно радио- или ИК-диапазонам.
Как известно, уравнения Максвелла имеют решения, соответствующие электромагнитным (т.е. одновременно осциллируют Е- и В-поля) поперечным (Ek, Bk) волнам (фазы и частоты колебаний Е и В совпадают, причем ЕВ). В вакууме = k2 c2 и фазовая скорость равна скорости света с.