Курсовые / Колебания и волны в плазме / колебания и волны1

В плазме = + k² c² и фазовая скорость выше:

= / k² = c² + (/ k²) >c². (2.6)

Групповая скорость

d/dk = = c²/ < с.

Поскольку > с . , электроны плазмы не могут взаимодействовать с такими волнами по механизму затухания Ландау, и в бесстолкновительной плазме поперечные волны не затухают. Дисперсионная кривая (k), соответствующая уравнению (2.6), показана на рис.2.5. Показатель преломления п за­висит от , т.е. плазма является дисперги­рующей средой. В плазме n < 1, т.е., на­пример, выпуклый плазменный объем явля­ется рассеивающей линзой.

Рис. 2.5. Дисперсионная кривая для ЭМ-волн, распространяющихся в плазме в отсутствие постоянного магнитного поля.

При (< ) неравенство (2.6) удовле­творяться не может, излучение через плазму не проходит, точнее, происходит его бы­строе затухание по закону

I_v = I_v0 exp(-L/L),

где I_v , I_v0— начальная и текущая интен­сивности, L — длина пути, L — глубина скинирования. В бесстолкновительном случае (поперечные волны)

L = , = (/2)^1/2

в столкновительном (т.е. при < ) получается из­вестное выражение для скин-эффекта: толщина скин-слоя

L =

где — электропроводность плазмы.

В частности, в слабоионизованной плазме

L = ,

а в сильноионизованной

L =

Декремент затухания поперечных ЭМ-волн и слабостолкновительной плазме при .

L = .

Например, при транспорте внешнего излучения в напра­влении оси х в плазменном объеме с n_e нарастающей по х, ЭМ-волна проходит через разреженные плазменные слои (где > ) и отражается от слоя x₀, где > (п_e (х₀)) (происходит отсечка излучения).

Кроме периодических и квазипериодических колебаний и волн, в плазме часто возникают движущиеся или квази­стационарные поверхности, в окрестности которых проис­ходит быстрое, почти скачкообразное изменение значений основных локальных параметров плазмы: тепловые, ради­ационные, ударные волны и двойные электрические слои.

Тепловые и радиационные волны. Тепловая волна — это поверхность резкого, практически ступенчатого изме­нения температуры плазмы (газа), причем, в отличие от ударных волн, более горячая плазма за тепловой волной имеет меньшую концентрацию частиц, чем относительно холодная плазма перед ней.

Тепловые волны возникают при нелинейном теплопереносе, когда транспорт энергии облегчен в высокотемпературной и затруднен в низкотемпературной среде.

Радиационные волны — это тепловые волны, образую­щиеся при преобладающем радиационном переносе энер­гии.

При линейной (рис.2.6,а) теплопроводности, когда ко­эффициент температуропроводности а = /() не зависит от Т, температура плавно меняется по пространству.

Тепловые волны связаны с нелинейной теплопроводностью при да/дТ> 0 (рис.2.6,б).

Рис.2.6. Распространение тепла от мгновенного плоского источника: при линейной теплопроводности (а), при нелинейной теплопроводности (б).

При преобладании указан­ных процессов теплопе­редачи в нагретой обла­сти плазменного объема с большим а профиль тем­пературы сглаживается за счет интенсивной теплопе­редачи. В холодной обла­сти (где значения а малы) тепловые потоки из горя­чей области пренебрежимы и температура постоянна. На границе между этими обла­стями — на тепловой волне — имеется конечный тепловой поток q при большом градиенте температуры и малом зна­чении а, под действием которого непрерывно прогреваются новые массы холодного вещества.

При степенной аппроксимации коэффициента темпе-ратуропроводности а = AT^j, A = const, j = const, и внутренней энергии = , = const, l= const, при мгновенном выделении в плоском слое энергии e в случае отсутствия (или дозвукового характера) движения среды за­кон изменения координаты фронта тепловой волны имеет вид

x_ph = ,

= ;

Г - гамма-функция; Q = e /() при = const, Q = e /() при р = const,

= (j-l)/(l+1),

= A/[(l+1)],

а профиль температуры

T = T_{c ,}

T_c = ,

J = .

Например, при = 5, l=0-= 0.77 и T_c = 1,12Q/(2x_ph).

При нелинейной теплопровод­ности образуются радиационные волны, а область нагретого газа охлаждается равномерно (профили температуры, потока и диверген­ции потока показаны на рис.2.7). Для сферически-симметричного случая при мгновенном выделении энергии e ' закон пространственно-временного изменения температуры имеет вид

Т = T_c , r_ph = ,

Q = e’ /() ( = const) , Q = e’ /() (р = const),

= ,

T_c = Т^{* (}4/3), Т^* = Q/(4/3);

(например, при = 5, = 0,79, T_c = 1,28 Т^*).

Рис. 2.7. Профили температуры,потока

и дивергенции потока в тепловой волне

Тепловые волны при экзотермических реакциях. Воз­никновение тепловой волны может оказаться также резуль­татом развития тепловой неустойчивости, когда в газе на некоторых степенях свободы сосредоточена энергия (химическая, колебательная и др., превышающая k_BT /2), а термализация энергии интенсифицируется при нагреве. Это выполняется, например, в химически активном газе, а также когда колебательная температура молекул превышает поступательную. В этих случаях в газе (плазме) распро­страняется тепловая волна, во фронте которой происходит быстрая химическая реакция или колебательная релаксация газа.

Ниже записаны выражения для скорости тепловой волны * в характерных случаях:

а) Экзотермическая химическая реакция при теплопе­редаче за счет теплопроводности:

* = (2.7)

— формула Зельдовича (здесь q — мощность тепловыделе­ния, n— концентрация частиц газа).

Часто считают, что константа скорости процесса энер­говыделения К=К(Т) экспоненциально зависит от тем­пературы в соответствии с законом Аррениуса, и в области, где протекает реакция, для q(T) получается:

q(T) = q(T_m)exp[- (T_m -T)], = e_a/ T_m².

(Tm — конечная температура, определяемая запасом вну­тренней энергии, e_а — энергия активации данного про­цесса). Тогда

* = (2.9)

б) Тепловая волна, образующаяся вследствие колеба­тельной релаксации и теплопередачи за счет диффузии воз­бужденных молекул,

* =[2D (T_m)]^1/2 = [2D_nK(T_m)]^l/2,

где (Т) — время колебательной релаксации, К — кон­станта скорости, D — коэффициент диффузии.

При этом ширина фронта тепловой волны релаксации составляет

(D)^1/2.

в) Тепловая волна колебательной релаксации с теплопроводностным механизмом теплопереноса (a . D):

* = = ,(2.10)

T_p = T_m- (T_m - T₀)/e,

где е = 2,718..., (T_р) = [пК(Т_р)]^-1 - время колеба­тельной релаксации молекулы при температуре газа, равной Т_р. При этом ширина фронта тепловой волны составляет x [а (Т_р)]^1/2.

Радиационные волны часто образуются при взаимодей­ствии с относительно холодным веществом (с температурой Т₀ и плотностью ) коротковолнового (ВУФ- и УФ-) излу­чения (например, из более горячей зоны плазмы) как в слу­чае выполнения условия применимости приближения лучи­стой теплопроводности, так и в случае, когда эти условия нарушаются (вследствие оптической прозрачности прогре­тых областей объема).

В таких волнах температура повышается до Т^*, при ко­торой происходит реакция (диссоциации, ионизации), при­водящая к «выключению» фотопроцессов с участием рас­падающихся частиц (фотодиссоциации, фотоионизации со­ответствующих состояний) и «просветлению» плазмы в со­ответствующем спектральном диапазоне.

Из прогретой плазмы на радиационную волну падает излучение S(Т^*), в холодное вещество проходит поток S(Т₀), в радиационной волне поглощается мощность из­лучения S(Т^*) - S(Т₀). Расход массы через радиаци­онную волну определяется балансом энергии

* = [S(Т^*) - S(Т₀)]/[(Т^*) - (Т₀)]; (2.11)

(Т^*) - (Т₀) e_r , e_r — энергозатраты на соответствую­щую реакцию ионизации (диссоциации); отсюда находится скорость волны *. Температуру «просветления» T можно найти из соотношения

[S(Т^*) - S(Т₀)]/[(Т^*) - (Т₀)] = S(Т^*)/ =

= (S /T )/ (/ (2.12)

Из (2.12) следует, что Т^* зависит от оптических и тер­модинамических свойств плазмы и от спектра падающего излучения.

Возможно возникновение нескольких радиационных волн, соответствующих различным реакциям и движущихся с разными скоростями (волны диссоциации, первой, второй и т.д. ионизации основного и примесных элементов).

Если * меньше скорости звука *(T₀), то вместо вну­тренней энергии следует в (2.11), (2.12) подставлять энталь­пию h = (для плазмы = 1 — 1,67).

Толщина фронта радиационной волны соответствует средней длине пробега излучения, поглощающегося в ра­диационной волне.

Полный поток энергии через радиационную волну со­ставляет

S(Т^*) -, что может быть намного меньше мощности падающего излучения. Это связано с тем, что поток плазмы * переносит через радиационную волну на­встречу радиационному потоку энергию ионизации, диссо­циации и т.п. Потоки энергии коротковолнового излучения квазиотражаются от радиационной волны.

Ударные волны. В столкновительной плазме возни­кают поверхности газодинамических разрывов — удар­ные волны (УВ), подобные ударным волнам в газе; плос­кие УВ образуются, например, при торможении квазиста­ционарного сверхзвукового ( > , — скорость звука) потока на плоской преграде (рис.2.8,а) или при квазистационарном движении по газу плоского поршня (рис.2.8,б). В системе координат, связанной с УВ (рис.2.8,в), параметры перед ней (, , T₁, p₁) и после нее (, ,T₂, p₂) связаны соотношениями Гюгонио

= ,

p₁ + = p₂ + ,

+ p₁ / + /2 = + p₂ /+ /2,

которые выражают законы сохране­ния массы, импульса и энергии и определяют значения параметров за УВ и скорость D ее движения отно­сительно преграды или поршня:

D = = ,

= ,

p₂ = p_1,

здесь — эффективный показатель адиабаты, M₁ = число Маха. Для сильных ударных волн (M₁ . 1, т.е. p₂ . p₁ )

= , =

например, в атомарной плазме при отсутствии энергозатрат на возбуждение внутренних степеней свободы (т.е. ⁼ 5/3) = 0,25,

= 4. Давление и энтальпия плазмы h за УВ относительно слабо зависят от и M₁ при < 5/3, M₁ . 1:

h₂ = + p₂ / = (/2)(1 – ()²),

p₂ = (1 - ).

При мгновенных сильных возмущениях, например мгновен­ном энерговыделении (сферически-симметричный взрыв, мгновенное энерговыделение в бесконечной плоскости, энерговыделение на прямой), в отличие от квазистационар­ных плоских УВ (равномерно движущийся поршень) обра­зуются УВ, за фронтом которых значения р₂, , и т.д. переменны, как и скорости D УВ и расстояние r₀ до точки возмущения; для плоских ( = 0), цилиндрически- ( = 1) или сферически-симметричных (= 3) УВ временные за­висимости имеют вид

r₀ = (e/)^1/() 2^2/(),

D = (e/)^1/()(2/(2 + ))t^2/()-1 = 2/ (2 + )r₀/t,

здесь e = e₀ /, e₀ — энерговыделение на единицу пло­щади (при = 1) на единицу длины ( = 2), полная энер­гия возмущения (= 3), — плотность невозмущенного газа. Значения в зависимости от и от показателя адиа­баты приведены на рис.2.9.

Рис. 2.9. График зависимости = e₀/e от и от показателя адиабаты

Параметры плазмы у фронта УВ не зависят от ее кри­визны и значения и определяются по формулам

= , = ,