6. Двоичная арифметика. Форматы положительных и отрицательных чисел.

Двоичная арифметика – краткое наименование системы арифметических операций (включающей сложение, вычитание, умножение, деление, иногда некоторые другие операции) над двоичными числами, т.е. целыми числами, представленными в двоичной позиционной системе; собирательное название схемных решений для выполнения арифметических операций над двоичными числами – сумматоров, умножителей, схем вычитания, деления и другие.

В последнее время почти вся техника, связанная с передачей и обработкой информации, стала цифровой. Цифровыми стали аудио и видеомагнитофоны, превратившись в DVD-плейеры и Айподы, телевизоры, фотоаппараты, а многие виды электронно-вычислительной техники и современные мобильные телефоны были цифровыми изначально. Это означает, что информация, циркулирующая в этих устройствах, представляется (или, как говорят, кодируется) в цифровом виде, т.е. как правило, в виде строк (или последовательностей), состоящих из нулей и единиц. Этим строкам можно сопоставить по некоторым правилам целые числа, для чего обычно используется двоичная позиционная система их записи.

Таким образом, с определенной точки зрения, все цифровые устройства генерируют потоки целых чисел, по некоторым правилам их преобразуют, обрабатывают, кодируют, декодируют и т.д., и передают другим цифровым устройствам. Область науки и техники, которая занимается изучением подобных процессов, называется цифровой обработкой сигналов (английская аббревиатура DSP – Digital Signal Processing).

Существенную роль в этом играют алгоритмические процедуры, выполняющие арифметические и логические операции с различными типами числовых данных. Проектированием подобных алгоритмов и устройств, их реализующих, занимается компьютерная арифметика. Ее математической основой является теория сложности так называемых булевых функций (более длинно именуемых функциями алгебры логики).

В большей своей части компьютерная арифметика является двоичной арифметикой. Этому есть две причины. Во-первых, алгоритмы арифметических операций двоичной арифметики (т.е. арифметики, использующей двоичную позиционную систему) очень просты и являются в определенном смысле простейшими среди подобных алгоритмов для всех позиционных числовых систем. Во-вторых, дискретные (не аналоговые) электронные схемы, как самые современные, так и использовавшиеся много лет назад, имеют в определенном смысле двоичную природу и легко описываются на языке алгебры логики. Алгебра логики применяется как для моделирования функционирования этих схем, так и для их проектирования (синтеза).

Формы с плавающей и фиксированной точкой

Существует 2 способа предcтавления чисел: с плавающей и фиксированной точкой.

Представление числа в форме с фиксированной точкой.

Общий вид представления числа с фиксированной точкой:

Зн

2-1

...

2-n

 

Зн

2-1

...

2-15

< 2 байта, 16 разрядов >

Зн

2-1

...

2-31

< 4 байта, 32 разрядa >

В общем случае фиксированная точка (естественная форма представления чисел) характеризуется значением m (m = соnst). В этом случае для всех чисел, с которыми оперирует машина, положение точки постоянно. Можно увидеть, что при m = 0 все числа, с которыми оперирует машина, меньше 1 и представлены в виде правильных дробей.

В формате с фиксированной точкой разрядная сетка имеет n + 1 разряд:

x_max0.111...1 - 2ⁿ

x_min0.000...1 * 2ⁿ

0 x2ⁿ

При использовании чисел с фиксированной точкой может возникнуть переполнение.

Представление чисел в форме с плавающей точкой.

Такое представление числа соответствует нормальной форме записи:

¦ (x₁p^-1 + x₂p^-2 + ... + x_np^-n)

Здесь p^-n - мантисса, p^m - порядок.

Пример:

133,21 = 10²*1.3321, 10²- порядок, 1.3321- мантисса. 1332.1 = 10³*1.3321 0.13321 = 10^-1*1.3321

При использовании формата с плавающей точкой пользуются понятием нормализованного представления чисел.

Нормализованным числом называется число, мантисса которого удовлетворяет следующим неравенствам:

Пример:

0,00121 = 10^-2*0.121 0.0010 = 2^-2*0.101 101.10 = 2³ *0.10110

Зн.п

2ln-2

...

20

Зн.m

2-1

2lm

	<       Код порядка       >		<    Код мантиссы     >
<     Длина поля порядка          >		<     Длина поля мантиссы     >

Kn - код порядка Km - код мантиссы ln - длина поля порядка lm - длина поля мантиссы

Знак '-' кодируется единицей, знак '+' - нулем.

Диапазон представления чисел (максимальное число) зависит от того, как велики поля порядка и мантиссы.

Пример:

2⁵*0.110101

0

101

0

110101

Основной операцией в ЭВМ является операция сложения. При вычислении суммы в ЭВМ возможны 2 случая: либо слагаемые имеют разные знаки, либо одинаковые.

Алгоритмы получения суммы 2-х чисел с общими знаками:

1-й алгоритм

1. Сложить два числа

2. Сумме присвоить знак одного из слагаемых

2-й алгоритм

1. Сравнить знаки слагаемых. Если они одинаковы, то выполнить сложение по 1-му алгоритму.

2. Сложить слагаемые по абсолютной величине, если знаки слагаемых разные.

3. Если необходимо, переставить числа местами, чтобы вычитать из большего меньшее.

4. Произвести вычитание.

5. Результату присвоить знак большего слагаемого.

S = A + (-B)

Формы представления чисел со знаками

Распространёнными формами представления чисел со знаками является их представление в прямом, обратном и дополнительном коде

Прямой код числа образуется кодированием знака числа нулём, если число положительно и единицей, если число отрицательно (для двоичной системы)

Для общего случая (q - 1) - если число отрицательно, и 0 - если число положительно. q - основание системы счисления.

Код знака записывается перед старшей цифрой числа и отделяется от неё точкой:

-1.01 = 1.101

Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают между собой.

Обратный код отрицательного числа образуется из прямого кода, заменой его цифр на их дополнения до величины q-1. Код знака сохраняется без изменения.

Пример :

+123₁₀ = 0.123_пр. = 0.123_об. -123₁₀ = 9.123_пр = 9.876_об. +3А7С00₁₆ = 0.3А7С00_пр = 0.3А7С00_об. -3А7С00₁₆ = F.3А7С00_пр = F.C583FF_об. -101₂ = 1.101_пр = 1.010_об.

Замена цифр их дополнениями для двоичной системы совпадает с операцией инверсии, то есть нули заменяются единицами, единицы - нулями. Знак принимает значение, равное единице.

Дополнительный код отрицательного числа образуется из обратного увеличением на 1 его младшего разряда. При этом перенос из знакового разряда игнорируется.

Пример:

+236₁₀ = 0.236_пр.= 0.236_об.= 0.236_доп. -236₁₀ = 9.236_пр.= 9.763_об.= 9.764_доп. -101₂ = 1.101_пр.= 1.010_об.= 1.011_доп. -3А7С₁₆ = F.3А7С_пр.= F.C583_об.= F.C584_доп.

Правила перевода из прямого кода в обратный и из обратного в прямой, а также из прямого в дополнительный и из дополнительного в прямой совпадают между собой.

Форматы чисел в ЭВМ

Рассмотрим представление формата в ЭВМ на примерах форматов, используемых в IBM 360/370 и ПЭВМ.

Как упоминалось ранее, в ЭВМ информация, представляемая с использованием множества двоичных разрядов, называется его разрядной сеткой. Количество этих разрядов определяет длину разрядной сетки. Для чисел заданного диапазона используется разрядная сетка с заранее определённой длиной и назначением разряда, что называется заданием числа в определённом формате. Задание диапазона предполагает выбор системы счисления, кода и разрядности чисел, что находит отражение в написании формата.

Кроме бита и байта, для указания длины формата используется слово, его производные - полуслово, двойное слово. Двойное слово и полуслово по-разному определяется для разных систем ЭВМ. Кроме того, используется понятие тетрада - 4 двоичных разряда, которыми может кодироваться, например, одна двоичная цифра.

Назначение разряда в формате структурирует разрядную сетку, то есть разбивает её на поля, объединяющие разряды сходного назначения. Например, разряды мантиссы или порядка. Форматы чисел в IBM 360/370 имеют длину полуслова, слова и двоичного слова, содержащие соответственно 2,4 и 8 байт.

Двоичные разряды в форматах формируются слева направо (начиная с нулевого разряда).

0

1

15

H

Зн

Разряды числа

0

1

31

F

Зн

Разряды числа

0

1

7

31

E

Зн

Характеристика

Мантисса числа

0

1

7

63

D

Зн

Характеристика

Мантисса числа

<        байт         >

<       байт      >

<         байт      >

Z

Зона

Ст.цифра

Зона

Цифра

...

Зона

Цифра

Знак

Мл.цифра

<                        байт                       >

<                  байт                     >

P

Ст.цифра

Цифра

...

Мл.цифра

Знак

Форматы H и F используются для представления двоичных чисел с фиксированной точкой, а E и D - с плавающей. Для представления десятичных чисел требуются форматы Z и P.

В формате H и F записывают целые двоичные числа, представленные в дополнительном коде и имеющие длину соответственно полуслова (короткий формат H) и слова (длинный формат F). Нулевой дволичный разряд является знаком. Формат H позволяет представить числа в диапазоне от -2¹⁵ до 2¹⁵-1, формат F - от -2³¹ до 2³¹-1. Форматы E и D служат для представления двоичных чисел с плавающей точкой и имеют длину соответственно слова и двойного слова. В нулевом разряде указывается код знака мантиссы (Зн). В семи следующих разрядах первого байта записывается характеристика (Х), представляющая собой порядок (П), в виде положительного числа . В последующих байтах записывается мантисса.

Форматы E и D описывают двоичные числа в двоично-кодированной шестнадцатеричной системе счисления. Порядок чисел изменяется от -64 до +63.

Характеристика (Х) изменяется от 0 до 127,

Х = Р + 64,

то есть смещает порядок в область положительных чисел.

Формат D за счёт большей длины, используемой для увеличения разрядности мантиссы, обеспечивает представление чисел с большей точностью.

Диапазон абсолютных значений чисел в форматах E и D составляет величины от 16^-64 до 16⁶³ , что эквивалентно пределам от 10^-77 до 10⁷⁶.

Для представления чисел в формате E и D необходимо перевести число в 16-ричную систему счисления, представить его в форме с плавающей точкой, определить характеристику и занести код знак мантиссы, характеристику и мантиссу в соответствующие поля формата.

Пример:

300₁₀ = 12С₁₆ = 0.12С₁₆*16³ = 4312С000_E = 43.12С00000000000_D -80₁₀ = -50₁₆ = -0.50₁₆*16² = С2500000_E = С250000000000000_D

Для положительных чисел при переводе в формат Е впереди пишется 4, для отрицательных - С.

Зн

26

25

24

23

22

21

20

0

1

0

0

0

0

0

1

Для положительного числа:

0

100

0001

Для отрицательного числа:

1

100

0001

2₁₀ = 2₁₆ = 0.2₁₆*16¹ = 41200000_Е = 4120000000000000_D

0

100

0001

0010

0000

0000

...

0000

Форматы Z и P (зонный и упакованный) используют двоично-десятичную систему исчисления с весами 8421. Каждая десятичная цифра кодируется тетрадой.

Пример:

15₁₀ = 0001 0101_2-10

Знак числа: если число положительное, то оно кодируется символами A, C, E, F , если же число отрицательное- то символами B и D.

Формат Z (зонный формат)используется при вводе и выводе. Для каждой цифры отводится 1 байт, причём правая тетрада кодирует цифру, а левая зона принимает значение F, если кодируется цифра, и этим отличает цифру от кодов других символов в других информациях. Крайний правый байт, кодирующий младшую цифру, на месте зоны имеет код знака.

Формат Р называется упакованным и используется при выполнении операций над цифрами. Получается из зонного путём удаления зон и перенесения кода знака на место справа от тетрады, кодирующей младшую цифру. Формат имеет целое количество байт и пре необходимости дополняется слева от младшей цифры нулевой тетрадой. Форматы Z и P могут иметь длину от 1 до 16 байт.

Пример:

+30₁₀ = 1Е₁₆ = 001Е_H = 0000001Е_F -30₁₀ = 1Е₁₆ = FFE2_H = FFFFFFE2_F +30₁₀ = 1Е₁₆ = 0.1Е₁₆*16² = 421E0000_E = 421E000000000000_D -30₁₀ = 1Е₁₆ = -0.1Е₁₆*16² = C21E0000_E = C21E000000000000_D +30₁₀ = F3AO_Z = 030A_P -30₁₀ = F3BO_Z = 030B_P +325₁₀ = F3F2A5_Z = 325A_P