§2. Системы массового обслуживания с отказами
Впервые такие системы рассматривал в начале прошлого века датский ученый Эрлангв связи с запросами телефонизации.
Предположим, что система состоит из каналов обслуживания и на нее поступает простейший поток запросов интенсивности. Поток обслуживаний в каждом канале также является простейшим, а его интенсивность равна. Если в момент поступления заявки всеканалов заняты, то она покидает систему.
Найдем основные характеристики эффективности такой системы обслуживания
Пусть, как обычно,,- это состояние системы, соответствующее пребыванию в ней ровнозаявок (каналов заняты, остальные свободны). Как уже отмечалось, финальные вероятности состоянийможно найти по формулам (4) (с соответствующей коррекцией) и (5):
;,. (7)
Отметим, что равенства (7) называются формулами Эрланга.
Теперь можно перейти к определению основных показателей эффективности системы обслуживания с отказами.
Вероятность отказав обслуживании заявки;
относительная пропускная способность ;
абсолютная пропускная способность ;
среднее число занятых каналов =.
Как уже отмечалось, последний показатель можно найти и проще по формуле (1): .
Пример 2.
На узел связи с четырьмя каналами поступает в среднем 3 запроса на соединение в минуту. Среднее время сеанса связи составляет 2 минуты. Найти характеристики эффективности такой системы массового обслуживания.
В данном случае,,,, поэтому из (7) получаем следующие значения финальных вероятностей состояний:
,,,,.
Для определения характеристик эффективности узла связи нам понадобится только вероятность :
вероятность отказав обслуживании заявки;
относительная пропускная способность;
абсолютная пропускная способность;
среднее число занятых каналов .
Замечания.
1.Рассмотренный узел связи перегружен: из четырех каналов связи заняты в среднем более трех (), а из поступающих запросов примерно 47% не выполняются (). При увеличении числа каналов связи с четырех до шести получаем:, откуда,,,, т.е. перегрузка системы обслуживания заметно уменьшается.
2.Для упрощения расчетов параметров системы массового обслуживания с отказами при большом числе каналовпреобразуем формулы (7) следующим образом. Введем в рассмотрение суммы
,;.
С их помощью вероятности состояний (7) можно представить так:
,. (8)
При больших значениях следует использовать приближенное равенство
, (9)
где - функция Лапласа.
Пример 3.
АТС может обеспечить не более 1200 соединений одновременно. Среднее количество вызовов, поступающих на АТС в секунду, равно 10. Средняя продолжительность соединения составляет 2 минуты. Рассматривая АТС как систему массового обслуживания, найдем показатели ее эффективности.
В данном случае,, так чтои число каналоввелико. Используя соотношения (7), (8), найдем характеристики системы:
=, т.е. вероятность отказа в соединении составляет 2,4%;
- вероятность того, что соединение произойдет. Другими словами, в среднем 97,6% приходящих требований выполняются;
, т.е. в среднем АТС осуществляет 585,6 соединений в минуту;
- столько каналов связи из 1200 в среднем задействованы в каждый момент времени.