Глава 7. Элементы теории массового обслуживания

§1. Основные понятия

Многие реальные объекты можно рассматривать как системы, предназначенные для обслуживания некоторых заявокили выполнениятребований, поступающих в случайные моменты времени. Эти системы содержат одну или несколько “обслуживающих единиц” -каналов обслуживания.Выполнение каждого требования продолжается в течение случайного времени, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Такие системы характерны для связи (телефонная станция, сервер Интернета), бытового обслуживания (магазин, поликлиника, касса), транспорта (вокзал, аэропорт) производства и ремонта (сборочная линия, мастерская, пункт наладки оборудования) и т.д.

Указанные объекты называют системами массового обслуживания. Функционирование системы обслуживания описывается случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние этой системы скачком изменяется в случайные моменты появления определенных событий: прихода новой заявки, выполнения ранее поступившего требования или ухода из системы заявки, ожидавшей в очереди.

Предмет теории массового обслуживания - исследование показателей эффективности систем массового обслуживания в зависимости от их структуры, условий работы, алгоритма функционирования и других обстоятельств.

Анализ работы системы массового обслуживания сильно упрощается, если она адекватно описывается марковским случайным процессом. Поэтому в теории массового обслуживания во многих случаях полагают, что все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние (поток заявок, поток выполняемых требований, поток отказов от пребывания в очереди), - пуассоновские или даже простейшие. Если реальные потоки событий не удовлетворяют этому требованию, то аппарат элементарной, “марковской” теории массового обслуживания, которая рассматривается в этой главе, тем не менее, можно использовать для приближенного или качественного описания соответствующих систем. Как будет видно из дальнейшего, такие простейшие системы массового обслуживания описываются случайными процессами гибели и размножения.

Рассмотрим некоторые элементы классификации систем массового обслуживания.

Система с отказами.Предполагается, что заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, покидает ее и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Такой принцип работы характерен для систем телефонной связи.

Система с очередью (ожиданием). В такой системе заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь, ожидая возможности обслуживания. На практике чаще встречаются системы с очередью, поэтому теорию массового обслуживания называют такжетеорией очередей.

Классификация систем массового обслуживания с очередями производится по свойствам очередей. Например, рассматриваются системы с ограниченной очередьюи снеограниченной очередью.В первом случае заявка не обслуживается и покидает систему только если в момент ее поступления все каналы и все имеющиеся в очереди места заняты. Во втором случае длина очереди не ограничена и отказов в обслуживании заявок не бывает. Еще одним признаком классификации систем с ожиданием является возможность ухода из системы заявок, находящихся в очереди. Если заявки не покидают очереди, то система обслуживания с ожиданием называетсячистой.

Как уже отмечалось, мы будем рассматривать “марковские” модели систем массового обслуживания. В таких моделях система изменяет свое состояние под действием простейших потоков событий. Перечислим эти потоки.

Поток заявок. Его интенсивность мы будем обозначать.

Поток обслуживаний канала- поток заявок, выполняемых одним непрерывно работающим каналом. Будем считать, что времяобслуживания каждой заявки распределено по показательному закону:. Тогда поток обслуживаний одного канала - простейший с интенсивностью. Если под обслуживанием в системе находятсязаявок (т.е. обслуживанием занятыканалов), то суммарный поток обслуживаний также является простейшим, а его интенсивность равна.

Поток уходов из очереди- это поток заявок, не дождавшихся обслуживания и покидающих очередь. Этот простейший поток характеризуетсяинтенсивностью ухода из очереди одной заявки, находящейся в очереди. Если в очереди ожидаютзаявок, то интенсивность простейшего потока уходов из очереди равна.

Функционирование простейших систем обслуживания описывается марковскими процессами гибели и размножения. При определении показателей эффективности таких систем обычно рассматривают их работу в стационарном режиме.

Перечислим основные характеристики систем массового обслуживания.

Вероятность отказав обслуживании заявки.

Относительная пропускная способность- вероятность того, что заявка будет обслужена:.

Абсолютная пропускная способность - среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени .

Среднее число занятых каналов - математическое ожидание числа каналов, занятых обслуживанием заявок. Величинуможно находить как отношение среднего числа заявок, обслуживаемых всей системой в единицу времени к среднему числу заявок, обслуживаемому в единицу времени одним каналом:

. (1)

Среднее число заявок в системе .

Среднее время пребывания заявки в системе .

Среднее число заявок в очереди .

Среднее время ожидания заявки в очереди .

Степень загрузки канала- вероятность того, что канал занят (для одноканальной системы).

Пример 1. Одноканальная система обслуживания с отказами.

Рассмотрим простейшую задачу теории массового обслуживания. Пусть на вход системы с единственным каналом обслуживания поступает простейший поток запросов интенсивности . Если в момент поступления заявки канал занят, то эта заявка покидает систему. Поток обслуживаний также является простейшим, его интенсивность равна.

Найдем основные характеристики данной системы массового обслуживания.

Пусть,- состояния системы соответствующие нахождению в нейзаявок. Граф состояний системы показан на рис.1. Этот граф с точностью до нумерации состояний совпадает с графом, рассмотренным в примере в главе 6. В соответствии с результатами решения этого примера вероятности состояний равны

,.

Рис. 1. Граф состояний одноканальной системы обслуживания с отказами

В стационарном режиме эти вероятности становятся равными,. Отсюда находим основные характеристики системы:

вероятность отказав обслуживании заявки;

относительная пропускная способность ;

абсолютная пропускная способность ;

степень загрузки канала.

среднее число занятых каналов (для одноканальной системы оно совпадает с).

Замечание.

Показатели эффективности, которые используются для характеристики систем одного типа, могут не представлять интереса при рассмотрении систем другого типа. Например, показатели ,и найденные в примере 1 для системы с отказами, в случае системы с неограниченной очередью становятся тривиальными:,и. Таким образом, выбор подходящих характеристик системы массового обслуживания определяется структурой и алгоритмом функционирования этой системы.

Рассмотрим произвольную систему массового обслуживания, имеющую стационарный режим и находящуюся в этом режиме. Система может быть одно- или многоканальной, марковской или нет, с ограниченной или неограниченной очередью, иметь произвольную дисциплину обслуживания, любое распределение времени обслуживания и т.д. В стационарном режиме системы поток заявок должен быть стационарным, пусть его интенсивность равна .

Как уже отмечалось, одними из основных характеристик эффективности системы массового обслуживания являются среднее число заявок в системе и среднее время пребывания заявки в системе. Связь между ними определяетформула Литтла:

. (2)

Предположим, что система находится в стационарном режиме и зафиксируем любой промежуток временидлины. Среднее суммарное времяпребывания заявок в системе на промежуткеравно.

С другой стороны, за время в систему приходят в среднемновых заявок со средним временем пребывания в ней, т.е. на промежуткеновые заявки приносят с собой дополнительное суммарное время пребывания заявок в системе в среднем равное. Поскольку система обслуживания находится в стационарном режиме, среднее суммарное время, проведенное находящимися в системе заявками на промежутке времени, должно равняться той же величине, т.е..

Приравняв два выражения для , получим формулу (2).

Аналогично получается и формула Литтла, связывающая среднее число заявок в очереди и среднее время пребывания заявки в очереди:

. (3)

Рассмотрим теперь достаточно общий случай системы массового обслуживания - систему с каналами обслуживания, неограниченной очередью и возможностью ухода заявок из очереди. Пусть интенсивности потоков заявок, обслуживаний и уходов из очереди равны, соответственно,,и. Пронумеровав состояния системыпо количествузаявок в ней, построим граф состояний процесса гибели и размножения, описывающего эволюцию данной системы массового обслуживания, см. рис. 2.

………

Рис. 2. Граф состояний системы обслуживания

Предположим, что рассматриваемая система имеет стационарный режим, и воспользуемся формулами для финальных вероятностей состояний однородного процесса гибели и размножения (см. главу 6), подставив в них интенсивности переходов ив соответствии с рис. 2:

,;,;,.

Тогда для вероятностей состояний в стационарном режиме получим следующие выражения

; (4)

,; (5)

,. (6)

Здесь ,. Учитывая, что- это среднее число заявок, поступающих в единицу времени, аесть среднее время обслуживания одной заявки, можно интерпретировать параметркак среднее число заявок, приходящее в систему за среднее время обслуживания одной заявки. Этот параметр называютприведенной плотностью потока заявок.Аналогично, параметринтерпретируется как среднее число заявок, покинувших очередь без обслуживания за среднее время обслуживания одной заявки и называетсяприведенной плотностью потока ухода заявок из очереди.

При формулы (4) - (6) описываютчистыесистемы обслуживания с ожиданием, т.е. системы, в которых заявки не покидают очереди. В этом случае в (4) и (6) следует положить.

У систем обслуживания с ограниченной очередью число состояний конечно: , где- максимальная длина очереди. Для таких систем в (4) следует ограничить суммирование поверхним пределоми в (6) считать.

При (очередь отсутствует, система обслуживания с отказами) в формуле (4) остается только первая сумма - по, равенства (5) остаются в силе без изменений, а (6) следует опустить, т.к. состоянияс номерамиотсутствуют.

Таким образом, рассмотренная математическая модель описывает широкий класс систем массового обслуживания, чем мы воспользуемся в дальнейшем.

Условия существования стационарного режима рассмотренной системы в случае ограниченной очереди выполняются при любых неотрицательных значениях интенсивностей ,и(см. главу 6). Можно показать, что если длина очереди не ограничена, то условия существования стационарного режима системы совпадают с условиями сходимости ряда из (4).