Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.04.2015

Размер:

1.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.

Найти ранг следующих матриц методом окаймления миноров:

		2	1	3		2		4
78.		4	2	5			1	7
78.		4	2	5			1	7
		6	3	8		1		11

	2		1 3				4							1		5 3 2		3
		5	1 1				7								3	4 5 3		2
79.		5	1 1				7						80.		3	4 5 3		2
79.		1 3											80.		3	7 1 0		5
		1 3				5 1									3	7 1 0		5

		7	7			9									5	1 7 4
		7	7			9	1								5	1 7 4		1
Вычислить ранг следующих матриц при помощи элементарных
преобразований:
		1	2			3		4	5
		3			3		5
81.		3	6		3		5			1
		1	10			3		3
		1	10			3		3	9
	10		2			4		8 16			6					23 22		1 21
		3	3			9		7 8			4					14	11	3	8
82.		3	3			9		7 8			4			83.		14	11	3	8
82.		2	4 7				3			0		1		83.		11 9		2 7
		2	4 7				3			0		1				11 9		2 7

		5	1			2		4 8								7	13	6	19
		5	1			2		4 8			3					7	13	6	19
		25	32		20		48									38	36	72	19	24
																80
84.		75	94		54		134							85.		80	73	147	40	49
84.		25	31		17		43							85.		118	98	219	59	73

		75	94		53											72	71	141	36	47
		75	94		53		132									72	71	141	36	47
		42	13			29	55			68
		31	12			19	43				55
		31	12			19	43				55
86.		25	7			32		18		11
			37
		24	37			61		13		50
		17	28			45		11		39
		17	28			45		11		39

Определить ранг матриц при различных значениях :

	3 1 1				4										2		20					12 2

87.	4 10				1									88.		1						1	2
87.		1	7 17		3									88.		1	10					6
		1	7 17		3											1	10					6	1

		2 2 4														2	1						5
		2 2 4			3											2	1						5
Исследовать совместность и найти общее и одно частное решение
системы уравнений:
	x1 x2 9x3 x4 3x5 28
89.	2x1 3x2				6x3 2x4 4x5 1
	3x 4x			2	3x x				4			x 27
		1		2		3			4				5
	2x1 3x2 5x3 7x4 1														3x1 4x2 x3 2x4 3
90.	4x1 6x2				2x3		3x4 2							91.	6x1 8x2						2x3		5x4 7
	2x 3x			2	11x 15x							4	1		9x 12x				2		3x 10x					4	13
		1		2		3						4				1			2			3				4
	2x1 7x2 3x3 x4 6														3x1 5x2 2x3 4x4 2
92.	3x1 5x2				2x3 2x4							4		93.	7x1 4x2							x3 3x4			5
	9x 4x			2	x 7x					4		2			5x 7x			2		4x 6x				4	3
		1		2		3				4						1		2				3		4
	2x1 5x2				8x3 8										x1 x2 3x3 2x4 3x5 1
			3x2		9x3 9												2x2			4x3 x4 3x5 2
94.	4x1		3x2		9x3 9									95.	2x1		2x2			4x3 x4 3x5 2
94.			3x2		5x3 7									95.			3x2			5x3 2x4 3x5 1
	2x1		3x2		5x3 7										3x1		3x2			5x3 2x4 3x5 1
		x 8x		2	7x 12										2x 2x			2		8x 3x				4	9x 2
		1		2		3										1		2				3		4			5
	2x1 x2 x3 2x4 3x5 2
			3x2		2x3 4x4 5x5 3
96.	6x1		3x2		2x3 4x4 5x5 3
96.			3x2		4x3 8x4 13x5 9
	6x1		3x2		4x3 8x4 13x5 9
	4x 2x			2	x x					4		2x 1
		1		2		3				4			5
	6x1 4x2 5x3 2x4 3x5 1
			2x2		4x3 x4 2x5 3
97.	3x1		2x2		4x3 x4 2x5 3
97.			2x2		2x3 x4								7
	3x1		2x2		2x3 x4								7
	9x 6x			2	x 3x			4			2x 2
		1		2		3		4					5

	8x1 6x2 5x3 2x4 21											2x1 3x2 x3 2x4 4
	3x 3x			2		2x x		4		10		4x 3x			2		x x	4		5
		1				3							1				3
98.			2x2			3x3	x4			8	99.			11x2			3x3 2x4 2
	4x1											5x1
	3x 5x			2		x x		4		15		2x 5x				2	x x		4	1
		1				3							1				3
	7x 4x				2	5x 2x			4	18			x 7x		2		x 2x		4	7
		1				3							1				3

Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значений параметра :

5x1 3x2 2x3 4x4 3

2x1 x2 3x3 4x4 5

2x2

3x3 7x4 1

2x2

5x3 6x4 7

100.

4x1

101.

4x1

6x2

x3 5x4 9

3x2

7x3 8x4 9

8x1

6x1

7x 3x

7x 17x

x 4x

9x 10x

Найти общее решение и фундаментальную систему решений для

систем уравнений:

	x1 2x2						4x3 3x4 0					2x1 4x2					5x3 3x4 0
			5x2			6x3 4x4				0				6x2			4x3 2x4 0
102.	3x1		5x2			6x3 4x4				0	103.	3x1		6x2			4x3 2x4 0
102.		4x	5x			2x 3x				0	103.		4x	8x		17x 11x				0
		4x	5x		2	2x 3x		4		0			4x	8x	2	17x 11x		4		0
		1			2		3	4					1		2		3	4
	3x 8x			2		24x 19x			4	0		2x 4x			2	12x 8x			4	0
		1		2			3		4				1		2		3		4
	3x1 5x2 2x3 0
			7x2			5x3 0
104.	4x1		7x2			5x3 0
104.		x	x			4x 0
		x	x		2	4x 0
		1			2		3
	2x 9x				2	6x 0
		1			2		3

x1 x3 0x2 x4 0

105.x1 x3 x5 0x2 x4 x6 0x3 x5 0

x4 x6 0

x1 x3 x5 0

x2 x4 0

106.x1 x2 x5 x6 0x2 x3 x6 0

x1 x4 x5 0x1 x2 x3 x4 x5 x6 0x6

	5x1 6x2 2x3 7x4 4x5 0
			3x2 x3 4x4						2x5 0
107.	2x1		3x2 x3 4x4						2x5 0
107.			9x2 3x3 5x4 6x5 0
	7x1		9x2 3x3 5x4 6x5 0
	5x 9x			2	3x x			4	6x 0
		1		2		3		4			5
	3x1 4x2 x3 2x4 3x5 0
			7x2 x3 3x4 4x5 0
108.	5x1		7x2 x3 3x4 4x5 0
108.		4x	5x			2x x				5x 0
		4x	5x		2	2x x			4	5x 0
		1			2	3			4		5
	7x 10x				2	x 6x			4	5x 0
		1			2	3			4		5
109. Какие из строк матрицы
							6		2		3	2
							5		3		7	6
							5		3		7	6
							8		0		5	6

							4 2				7	5
							4 2				7	5

137

образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений

2x1 5x2 3x3 2x4 x5 0
			5x3 4x4 3x5 0
5x1 8x2
	x 7x	2	4x 2x		4	0
	1		3
4x x		2	x 2x	4		3x 0
	1		3			5

ГЛАВА 3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

§3.1. Матрицы линейных операторов.

Пусть дано множество L ; его элементы будут обозначаться

малыми латинскими буквами: a, b, c, Пусть, далее, в множестве L

определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов a, b из L однозначно определенный элемент a b из L ,

называемый их суммой, и операция умножения на действительное

число, причем произведение		a элемента a на число ,			однозначно
определено и принадлежит к L .
Элементы множества L будут называться векторами,					а само L
действительным	линейным	(или	векторным,	или	аффинным)

пространством, если указанные операции обладают свойствами 1 8 из §2.1.

Так, арифметическое n мерное векторное пространство является примером линейного пространства.

Два линейных пространства L и			L/ называются изоморфными, если
существует биективное отображение			f : L L/ , ставящее в соответствие
каждому вектору x пространства L вектор f x				пространства			L/ , такое
что:
		f a b f a f b ;
		f a f a .
Пусть e1,..., en		базис L и x L . Так		как		e1,..., en	система
порождающих, то найдутся числа 1,..., n такие,				что		x 1e1 .. nen .
Если	также	x 1e1 .. nen ,				то	имеем
x x	1 1 e1 ... n n en .		Но e1,..., en		линейно независимая
система,	откуда 1 1	... n n 0 . Значит 1			1,..., n n . Итак,
представление вектора		x в виде линейной комбинации базисных векторов

возможно и единственно.		Набор ( 1,..., n ) называется					координатами
вектора х в базисе e1,..., en .
Отображение : L L называется					линейным	оператором,		если
выполнены условия: для всех x, y L и числа :
(а) x y x y
(б) x x ,
которые можно заменить		одним:	для	всех	x, y L и	чисел , ,		верно
x y x y . Отсюда следует равенство
1a1 ... n an 1 a1 ... n an ,
широко используемое в дальнейшем.
Справедлива следующая
ТЕОРЕМА (о существовании и единственности ). Пусть e1, ,en
базис L и a1, , an	произвольные			векторы из L .		Тогда существует
единственный линейный оператор такой, что (e1) a1,..., (en ) an .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.		Если	x 1e1 ... nen , то зададим : L L
так: (x) 1a1 ... nan .		Проверим,		что	линейный		оператор.	Если
y 1e1 ... nen	и	,		произвольные			числа,	то

( x y) (( 1e1 ... nen ) ( 1e1 ... nen ))

(( 1 1)e1 ... ( n n )en ) ( 1 1)a1 ... ( n n )an

( ( 1a1) ... ( nan ) ( ( 1a1) ... ( nan )) (x) ( y).

Предположим, что	также линейный		оператор	L ,	причем
(e1) a1,..., (en ) an .
Имеем ( 1e1 ... nen ) 1 (e1) .. n (en ) 1a1 ... nan .					Итак
(x) (x) для любого x L . Значит . □
Доказанная теорема показывает, что линейный оператор однозначно
определяется в данном базисе e1, ,en		своими значениями (e1),..., (en ) .
Приходим к определению:	матрицей	линейного	оператора	в	базисе

e1, ,en называется такая

матрица

A aij

; j

у которой

1..n

i ый столбец есть координаты вектора (ei )

в базисе e1, ,en . Т. е.,

(e )

(e ) (e ) e

e e

2n .

Обозначим через x

столбец из координат вектора x в базисе e1, ,en ,

т.е. x

. В частности, (x) столбец из координат вектора (x)

в этом

же базисе.

Имеет место следующее равенство

(x) A x .

(1)

Действительно,

x ( 1e1 ... nen ) 1 (e1) ... n (en ) 1( 11e1 ... n1en ) ...

n ( 1ne1 ... nnen ) ( 11 1 ... 1n n )e1 ... ( n1 1 ... nn n )en

Но в последней сумме коэффициенты при e1, ,en

как раз есть координаты

вектора (x)

в базисе e1, ,en . Из правила умножения

матрицы A на

столбец x получаем искомое равенство (1). □

Пусть

/ ,...,e/

другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса

e1 ,...,en

другому

e1/ ,...,en/

называется

такая

матрица

T ij

;

1..n

у которой i-ый столбец есть координаты вектора

e/ в базисе

,...,e

, т. е.

e/ e e

2n .

Фактически	матрица T есть матрица линейного оператора,
переводящего векторы e1 ,...,en в e1/ ,...,en/ .
	1
Пусть y		столбец из координат вектора х в базисе	e1/ ,...,en/
Пусть y		столбец из координат вектора х в базисе	e1/ ,...,en/

	n

Тогда имеет место следующее равенство
			x T y					(2)
Действительно, имеем
		x e	...	e	e/		...	e/
		1 1		n n	1	1		n n
Но e/	e ...	e , откуда
i	1i 1	ni n

x 1( 11e1 ... n1en ) ... n ( 1ne1 ... nnen )( 11 1 ... 1n n )e1 ... ( n1 1 ... nn n )en .

Но в последней сумме коэффициенты при e1 ,...,en как раз и есть координаты вектора х в базисе e1 ,...,en . Из правила умножения матрицы T на столбец y

получаем (2).

По следствию 2 из теоремы о ранге матриц T невырожденная матрица, т.к. её столбцы, будучи координатами базисных векторов линейно независимы. Поэтому Т имеет обратную матрицу T 1. Умножая обе части

равенства (2) слева на T 1, получаем

y T 1 x .

Пример 1.

Векторы	e/	(1, 1, 1);	e/	(1, 1, 2);	e/	(1, 2, 3);	x (6, 9, 14) заданы своими
	1		2		3

координатами в некотором базисе e1, e2 , e3 . Показать, что векторы e1/ , e2/ , e3/

сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.

Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1, e2 , e3 к системе

векторов e1/ , e2/ , e3/ :

1	1	1

T 1	1	2	,
	2	3
1	2	3

она невырожденная, значит векторы e1/ , e2/ , e3/ линейно независимы и могут образовывать базис трёхмерного пространства. Тогда

	1	1	1
T 1	1	2	1	.

	1	1	0
	1	1	0

Найдём координаты вектора x в базисе e1/ , e2/ , e3/ :

/	1	1	1	6	1
x1	1	1	1	6	1
x/	1	2	1	9		2	.
2
2
x/	1 1		0	14		3
x/	1 1		0	14		3
3

Следующая теорема устанавливает связь между матрицами одного и того же линейного оператора, заданными в разных базисах.

ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть A и B –

матрицы линейного оператора в базисах e1 ,...,en и e1/ ,...,en/

соответственно и T матрица перехода о первого базиса ко второму.

Тогда B T 1 A T (матрицы A и B называются подобными).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если x L , то обозначим через x 1 и x 2

столбцы из координат вектора x в первом и во втором базисах, а через

(x) 1 и (x) 2 координаты образа этого вектора в первом и во втором

базисах.. Из равенства (2) имеем

T (x) 2 (x) 1.

Из равенства (1) получаем

(x) 1 A x 1 и (x) 2 B x 2 .

Из этих трех равенств заключаем, что

T B x 2 A x 1.

Но x 1 T x 2, откуда

T B x 2 A T x 2.

Домножая обе части этого равенства на T 1 слева, получаем равенство

B x 2 T 1 A T x 2 ,

Которое имеет место при любом векторе x L . Это означает равенство матриц B и T 1 AT . □

В доказательстве теоремы молчаливо использовался тот факт, что если для любого вектора х выполнено A x B x , то A B . Предлагается его доказать читателю.

Пример 2. Линейный оператор в базисе e1, e2 , e3 имеет матрицу

A 31

2	1
2	1	. Найти его матрицу
1	0
1	0

e1/ e2/ e3/

Bв базисе

(1, 1, 1);

(1, 2, 1);

(0, 1, 1).

Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1, e2 , e3 к базису

e/	, e/	, e/	:
1	2	3
					1		1	0

			T		1		2	1 .
				1			1
				1			1	1
Найдём обратную матрицу для T :
						1	1	1
			T 1			0	1	1 .

						1	2
						1	2	3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Фунд. и комп. алгебра I курс

#
19.04.20154.41 Mб26АЛГЕБРА 1.doc
#
19.04.20151.49 Mб36АЛГЕБРА 1.pdf
#
19.04.20155.14 Mб42АЛГЕБРА 2.doc
#
19.04.20151.49 Mб38АЛГЕБРА 2.pdf