Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 1

( 1)i1 ... ik j1 ... jk называется алгебраическим дополнением исходного

минора k ого порядка.

Доказательство следующей теоремы технически сложное и поэтому

фиксированных строках, на их алгебраические дополнения равна исходному определителю.

Так как один элемент aij в квадратной матрице является минором

первого порядка, то можно вычислить его алгебраическое дополнение,

которое обозначается через Aij . Из теоремы Лапласа при k 1 получаем

СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя на их алгебраические дополнения равна определителю,

фиксированном i, 1 i n. □

СЛЕДСТВИЕ 2. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя на соответствующие алгебраические элементы другой строки равна нулю, т.е. при i k

на i ую. В полученном определителе две строки будут равными. Поэтому

по свойству 4 он равен 0. Но, вычисляя его методом разложения по k ой

строке и используя следствие 1, как раз и получим сумму (3). □

Разумеется, в теореме Лапласа и следствиях 1 и 2 слово «строки» можно заменить на слово «столбцы».

Матрица A называется треугольной, если все элементы над или под главной диагональю равны нулю. Непосредственно из определения

11

определителя следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали.

Наконец, полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка. Именно,

Пример 4.

2 3 2 5 3 4 2 . 4 5

a11a12a13

a21a22a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a32a33

a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком ‹‹+››, а какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:

Пример 5.

3 1 0 18 8 12 8 22.

Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются

следующим алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются

12

того, чтобы в одной строке (или в одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу). Тем самым вычисление определителя n ого сводят к вычислению определителя

n 1 ого порядка. При необходимости процедуру повторяют.

Пример 6. Вычислить определитель

Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно ко второй, третьей и четвёртой строке, получим

Распишем определитель по первому столбцу:

Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке,

получим

13

§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице.

Правило Крамера.

ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц A и B одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. A B A B.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательный определитель порядка 2n

A

14

проверить, что C AB . □

Пусть A и B матрицы порядка n . Матрица B называется обратной

для матрицы A , если AB BA E . Матрица A называется невырожденной,

если A 0.

ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).

(а) если A имеет обратную матрицу B , то A - невырожденная;

(б) если обратная матрица для A существует, то она единственна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(а) Имеем AB E . По теореме о произведении определителей получаем

A B AB E 1. Значит A 0.

(б) Пусть С также обратная матрица для A . Используя ассоциативность умножения матриц, имеем B BE B AC BA C EC C . □

Оказывается утверждение (а) можно обратить.

ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу A 1, где

15

Но по следствиям 1 и 2 из теоремы Лапласа сумма в скобках равна A , если

i j , и равна 0, если i j . Следовательно AA 1 E . Аналогично, используя

замечание после следствия 2, доказывается, что A 1A E . □

Пример 7.

Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида

16

Эта СЛУ состоит из m уравнений от n неизвестных. Матрица A aij ,

составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной, а

если к ней приписать столбец из b1,..., bm - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде

СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных m n и основная матрица ее невырожденная.

ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение x1,..., xn , которое находится по формулам

Вспоминая, чему равна матрица A 1 и находя произведение в правой части

(7) получаем

17

18

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

Вычислить выражения: