5 (1). Экспериментальные доказательства волновых свойств микрочастиц

Опыты Дэвиссона и Джермера (DavissonC.,GermerL., 1926-1927гг)(рис 8-10)

Опыты Штерна (SternO., 1929г)(рис12-13)

\Опыты Томсона (ThomsonG., 1928г)(рис11)

Дифракция нейтронов "Брэгговский скачок"(рис14)

Из формулы Вульфа-Брэгга (Вульф Ю.В.,BraggL.)

следует, что при

дифракция невозможна при любом значенииn, даже при минимальномn= 1, т.к. тогда

Кристаллическая структура льда(рис15-16)

6(1). Волновая функция и ее физический смысл

Гипотеза волнового пакета(рис17)

(при малых Dk)

Неустойчивость волнового пакета

Фазовая скорость

зависит от импульса, и, значит, от волнового числаk = p/h. Поэтому каждая из монохроматических волн, входящих в пакет, распространяется со своей фазовой скоростью, и пакет "расплывается" за время

Для электрона это примерно 10-26 секунды, т.е. практически мгновенно.

Второе возражение против гипотезы волнового пакета заключается в том, что такое представление противоречит опытному факту неделимости элементарных частиц (например, электрона). Волна не обладает свойством неделимости: при прохождении через границу раздела двух сред волна разделяется на прошедшую и отраженную. Частица при прохождении границы раздела сред не может разделиться. Она либо отразится от границы, либо пройдет во вторую среду.

Статистическое истолкование связи между волнами и частицами.

Современная точка зрения на связь между волнами и частицами заключается в статистическом истолковании: квадрат амплитуды волны в данном месте есть мера вероятности нахождения частицы в данном месте.

Запишем волну де-Бройля в виде где ψ0– амплитуда волны;n=E/h– частота;

k = 1/λ = p/h– волновой вектор. Вероятность нахождения частицы в данной точке пространства, согласно сказанному, определяется квадратом амплитуды волны:

или

То, что частица где-то находится, есть достоверность т.е. или

Это равенство называется условием нормировки, а функции ψ, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными.

Кроме того, волновая функция, по своему смыслу, должна удовлетворять и другим естественным условиям: она должна быть однозначной, конечной и непрерывной. Эти требования накладывают некоторые ограничения на волновые функции, точнее, на выбор некоторых параметров, входящих в волновую функцию.

Итак, современная физика рассматривает волны де-Бройля как волны вероятности.

При этом возникает вопрос: не обусловлен ли вероятностный характер описания поведения частиц и их волновые свойства, тем, что мы имеем дело с большим количеством частиц? Иначе говоря, обладает ли волновыми свойствами каждая отдельная частица или волновые свойства присущи только большой совокупности частиц?

Опыты Фабриканта, Бибермана, Сушкина (1949 год, СССР)

Ответ на этот вопрос дали опыты под рук. В.А.Фабриканта. Интенсивность пучка была примерно в 107 раз слабее, чем в опытах Томсона. При этом средний промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электрона через поликристаллическую пленку был примерно в 30 000 раз больше, чем время прохождения электрона через прибор.

Схема этих опытов аналогична рассмотренным выше опытам Томсона, но использовался электронный пучок очень малой интенсивности.(рис18)

Другими словами, на поликристаллическую пластинку в каждый данный момент времени падала не совокупность электронов, а отдельный электрон. Однако и в этих опытах дифракционная картина, возникающая за достаточно длительный интервал времени, ничем не отличалась от обычной, т.е. той, что получается с интенсивными пучками.

Это означает, что волновыми свойствами обладает каждая отдельная частица.

7 (2). Соотношения неопределенности.

Принцип неопределенности

Наличие волновых свойств у микрочастиц вносит ограничения на применимость понятий классической физики. Обратимся снова к оптико-механической аналогии. При переходе от геометрической оптики к волновой теряет смысл понятие луча. В классической механике понятию луча соответствует понятие траектории, которое теряет смысл при переходе к волновой механике. Утверждение об отсутствии траекторий у микрочастиц является содержанием принципа неопределенности, лежащего в основе волновой (квантовой) механики.

Соотношения неопределенности

Математическим выражением принципа неопределенности являются соотношения неопределенности, полученные впервые Гейзенбергом (HeisenbergW., 1927 г):DxDpx³h,DyDpy³h,DzDpz³h,

где ∆x, ∆y ∆z и ∆px ∆py ∆pz – неопределенности значений координаты и импульса микрочастицы.

Действительно, если бы частица имела одновременно определенное значение координаты и импульса, то в следующий момент времени она переместилась бы в определенную точку и т.д., т.е. двигалась бы по определенной траектории.

Таким образом, отсутствие траектории согласуется с утверждением, что частица не имеет одновременно определенных значений координаты и импульса.

Вывод соотношений неопределенности из эксперимента(рис19)

Пусть на экран со щелью ширинойaпадает поток электронов со скоростьюVz. Т.е. слева от экранаp= pz = mVz, px = py = 0, а координаты частицы неопределенны. В момент прохождения щели частица находится между ее краями, т.е. ее координата определена в пределах–a/2 < x < a/2, т.е.∆x = a. При этом опыт показывает, что поток за щелью не параллелен осиZ: на экране появляется дифракционная картина, причем угловая ширина α главного дифракционного максимума равнаsin(α)=λ /a.

Это означает, что после прохождения щели компонента импульсаpxперестала быть определенной (равной нулю), и эта

неопределенность ∆pxравна

откуда

Если учесть максимумы более высоких порядков, то можно записать: ∆x·∆px = nh, (n= 2, 3 и т.д.), или∆x·∆px ³ ћАналогичным образом можно получить соотношения и для координатyиz.

Соотношение неопределенности для энергии

Учитывая, что ∆p = F∆tи∆E = F∆x, находим:∆p∆x = F∆t·∆x = ∆E·∆t ³ ћт.е.∆E·∆t ³ ћ.

Здесь ∆E– неопределенность разности энергий двух состояний:∆E = ∆ (E2 – E1),

∆t – время, в течение которого реализуется переход из одного состояния в другое (не продолжительность самого перехода, а отрезок времени, в течение которого переход имел место).

Ширина спектральных линий

В качестве примера рассмотрим вопрос о естественной ширине спектральных линий. Опыт показывает, что излучаемые атомом кванты не имеют строго определенной энергии. Разброс ∆Eсвязан с временем жизниtатома в возбужденном состоянии. В основном состоянии атом живет бесконечно долго (t0 = ∞), поэтому ширина уровня основного состояния равна нулю:∆E0=0. Во всех возбужденных состояниях атом бесконечно долго находиться не может (обычно время жизни»10-8 с), поэтому существует конечная естественная ширина возбужденных уровней:∆Ei = Γ » ћ/τ.

Оценка размеров и энергии атома водорода

С помощью соотношений неопределенности сделаем оценку размеров и энергии атома водорода. Согласно принципу неопределенности электрон не может упасть на ядро, т.к. в этом случае он имел бы одновременно определенную координату и скорость (импульс). По этой же причине невозможно точно указать положение электрона относительно ядра (иначе неопределенность его импульса станет бесконечной). Таким образом, существует разброс в расстояниях электрона от ядра, и определенная вероятность обнаружить электрон на любом расстоянии R.

Оценим расстояние, на котором электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Согласно соотношению неопределенности ∆p∆R~ ћ. Расстояние известно с ошибкой ~R, поэтому импульс может быть определен с точностью порядкаp~ ћ/R. Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Полная энергия

Оценка размеров атома водорода

Состояние атома наиболее устойчиво при минимальном значении энергии, соответствующее расстояниеR0 и есть наиболее вероятное. Чтобы его найти, продифференцируемEпоRи приравняемdE/dRк нулю:

Отсюда

что совпадает с результатом,полученным в теории Бора.

Таким образом, радиус первой боровской орбиты – это наиболее вероятное удаление электрона от ядра. Оценка энергии атома водорода

Соответствующее наименьшее значение энергии получим, если в формулу для полной энергии

подставим Получаем:

что также совпадает с результатом, даваемым теорией Бора